Номер 221, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Пусть дана последовательность положительных чисел $\{b_n\}$, которая является геометрической прогрессией. Пусть её первый член равен $b_1$ (где $b_1 > 0$), а знаменатель равен $q$ (где $q > 0$). Условие положительности членов необходимо для того, чтобы их логарифмы были определены.

Формула $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Рассмотрим новую последовательность $\{a_n\}$, члены которой являются логарифмами членов последовательности $\{b_n\}$ по некоторому основанию $c$ (где $c > 0$ и $c \neq 1$):

$a_n = \log_c(b_n)$

Чтобы доказать, что последовательность $\{a_n\}$ является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любыми двумя её соседними членами является постоянной величиной (константой). Найдём разность $a_{n+1} - a_n$.

Выразим члены $a_{n+1}$ и $a_n$:

$a_{n+1} = \log_c(b_{n+1})$

$a_n = \log_c(b_n)$

Их разность равна:

$a_{n+1} - a_n = \log_c(b_{n+1}) - \log_c(b_n)$

Используя свойство логарифмов $\log_c(x) - \log_c(y) = \log_c(x/y)$, получаем:

$a_{n+1} - a_n = \log_c\left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)$

По определению геометрической прогрессии, отношение любого последующего члена к предыдущему равно знаменателю прогрессии $q$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$

Подставим это значение в наше выражение для разности:

$a_{n+1} - a_n = \log_c(q)$

Поскольку знаменатель $q$ является постоянной величиной для данной геометрической прогрессии, то и $\log_c(q)$ также является постоянной величиной. Эта величина и есть разность арифметической прогрессии $\{a_n\}$, обозначим её через $d$:

$d = \log_c(q)$

Таким образом, для любого $n \ge 1$ разность между соседними членами последовательности $\{a_n\}$ постоянна и равна $d$. Это доказывает, что последовательность логарифмов $\{a_n\}$ является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = \log_c(b_1)$ и разностью $d = \log_c(q)$.

Ответ: Утверждение доказано. Если последовательность $\{b_n\}$ является геометрической прогрессией с положительными членами, первым членом $b_1$ и знаменателем $q$, то последовательность их логарифмов по основанию $c$, $\{a_n\} = \{\log_c(b_n)\}$, является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = \log_c(b_1)$ и разностью $d = \log_c(q)$.