Номер 218, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Санның логарифмі қандай екі бүтін санның арасында орналасқанын табу үшін, логарифм негізінің сол санды шектейтін көршілес бүтін дәрежелерін табу керек. Яғни, $a^n < x < a^{n+1}$ теңсіздігін қанағаттандыратын $n$ бүтін санын табу керек. Сонда $n < \log_a x < n+1$ болады.

1) Негізі 2 болғанда:

• 7 саны үшін: $2^2 = 4$ және $2^3 = 8$. $4 < 7 < 8$ болғандықтан, $2^2 < 7 < 2^3$. Бұл теңсіздікті 2 негізі бойынша логарифмдесек, $ \log_2(2^2) < \log_2 7 < \log_2(2^3) $ аламыз, бұдан $2 < \log_2 7 < 3$ шығады. Демек, логарифм 2 мен 3-тің арасында орналасқан.

• 30 саны үшін: $2^4 = 16$ және $2^5 = 32$. $16 < 30 < 32$ болғандықтан, $2^4 < 30 < 2^5$. Бұдан $4 < \log_2 30 < 5$ екені шығады. Демек, логарифм 4 пен 5-тің арасында орналасқан.

• 120 саны үшін: $2^6 = 64$ және $2^7 = 128$. $64 < 120 < 128$ болғандықтан, $2^6 < 120 < 2^7$. Бұдан $6 < \log_2 120 < 7$ екені шығады. Демек, логарифм 6 мен 7-нің арасында орналасқан.

• 495 саны үшін: $2^8 = 256$ және $2^9 = 512$. $256 < 495 < 512$ болғандықтан, $2^8 < 495 < 2^9$. Бұдан $8 < \log_2 495 < 9$ екені шығады. Демек, логарифм 8 бен 9-дың арасында орналасқан.

Ответ: $ \log_2 7 $ саны 2 мен 3-тің; $ \log_2 30 $ саны 4 пен 5-тің; $ \log_2 120 $ саны 6 мен 7-нің; $ \log_2 495 $ саны 8 бен 9-дың арасында орналасқан.

2) Негізі 10 болғанда:

• 3 саны үшін: $10^0 = 1$ және $10^1 = 10$. $1 < 3 < 10$ болғандықтан, $10^0 < 3 < 10^1$. Бұдан $0 < \log_{10} 3 < 1$ екені шығады. Демек, логарифм 0 мен 1-дің арасында орналасқан.

• 18 саны үшін: $10^1 = 10$ және $10^2 = 100$. $10 < 18 < 100$ болғандықтан, $10^1 < 18 < 10^2$. Бұдан $1 < \log_{10} 18 < 2$ екені шығады. Демек, логарифм 1 мен 2-нің арасында орналасқан.

• 134 саны үшін: $10^2 = 100$ және $10^3 = 1000$. $100 < 134 < 1000$ болғандықтан, $10^2 < 134 < 10^3$. Бұдан $2 < \log_{10} 134 < 3$ екені шығады. Демек, логарифм 2 мен 3-тің арасында орналасқан.

• 1782 саны үшін: $10^3 = 1000$ және $10^4 = 10000$. $1000 < 1782 < 10000$ болғандықтан, $10^3 < 1782 < 10^4$. Бұдан $3 < \log_{10} 1782 < 4$ екені шығады. Демек, логарифм 3 пен 4-тің арасында орналасқан.

Ответ: $ \log_{10} 3 $ саны 0 мен 1-дің; $ \log_{10} 18 $ саны 1 мен 2-нің; $ \log_{10} 134 $ саны 2 мен 3-тің; $ \log_{10} 1782 $ саны 3 пен 4-тің арасында орналасқан.