Номер 222, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Сначала упростим множитель в скобках. Для этого вычислим значение степени:$4^{\log_{2}5} = (2^2)^{\log_{2}5} = 2^{2\log_{2}5} = 2^{\log_{2}5^2} = 2^{\log_{2}25} = 25$.Здесь были использованы свойства степени $(a^m)^n = a^{mn}$, свойство логарифма $k\log_b c = \log_b c^k$ и основное логарифмическое тождество $b^{\log_b c} = c$.Теперь выражение в скобках равно $1 + 25 = 26$.Подставим это значение в исходное выражение:$0,25 \cdot (1 + 25) \cdot \log_{26}4 = 0,25 \cdot 26 \cdot \log_{26}4$.Поскольку $0,25 = \frac{1}{4}$, получаем:$\frac{1}{4} \cdot 26 \cdot \log_{26}4 = \frac{13}{2} \log_{26}4$.Используя свойство логарифма $\log_a b^k = k\log_a b$, можно преобразовать выражение:$\frac{13}{2} \log_{26}(2^2) = \frac{13}{2} \cdot 2\log_{26}2 = 13\log_{26}2$.Ответ: $13\log_{26}2$.

2)Разобьем выражение на две части и вычислим каждую по отдельности.Первая часть: $10^{2 - \lg 2}$. Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество ($ \lg x = \log_{10} x $):$10^{2 - \lg 2} = \frac{10^2}{10^{\lg 2}} = \frac{100}{2} = 50$.Вторая часть: $25^{\log_5 4}$. Используем свойства степени и логарифмов:$25^{\log_5 4} = (5^2)^{\log_5 4} = 5^{2\log_5 4} = 5^{\log_5 4^2} = 5^{\log_5 16} = 16$.Теперь вычтем второе из первого:$50 - 16 = 34$.Ответ: $34$.

3)Вычислим первое слагаемое:$81^{\log_{9}2} = (9^2)^{\log_{9}2} = 9^{2\log_{9}2} = 9^{\log_{9}2^2} = 9^{\log_{9}4} = 4$.Второе слагаемое в выражении является произведением $0,25$ на $\log_3 2$:$0,25 \cdot \log_{3}2 = \frac{1}{4}\log_{3}2$.Теперь выполним вычитание:$4 - \frac{1}{4}\log_{3}2$.Это выражение не упрощается до рационального числа.Ответ: $4 - \frac{1}{4}\log_{3}2$.

4)Это выражение вида $81^E$, где $E = -\log_{0,5}3 \cdot \log_{1/3}4 + 2,5$. Упростим показатель степени $E$.Заметим, что $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $2,5 = \frac{5}{2}$.Используем свойство $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$:$\log_{0,5}3 = \log_{2^{-1}}3 = -\log_2 3$.$\log_{1/3}4 = \log_{3^{-1}}4 = -\log_3 4$.Подставим это в выражение для $E$:$E = -(-\log_2 3) \cdot (-\log_3 4) + \frac{5}{2} = -(\log_2 3 \cdot \log_3 4) + \frac{5}{2}$.Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$:$\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4 = 2$.Теперь $E = -2 + \frac{5}{2} = -\frac{4}{2} + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$.Искомое значение: $81^{1/2} = \sqrt{81} = 9$.Ответ: $9$.

5)Для упрощения введем замену: пусть $a = \log_2 14$ и $b = \log_2 56$.Выражение примет вид: $\frac{a^2 + ab - 2b^2}{a-b}$.Разложим числитель на множители: $a^2 + ab - 2b^2 = (a-b)(a+2b)$.Подставим в дробь: $\frac{(a-b)(a+2b)}{a-b}$.Поскольку $a-b = \log_2 14 - \log_2 56 = \log_2(\frac{14}{56}) = \log_2(\frac{1}{4}) = -2 \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(a-b)$.В результате получаем $a+2b$.Вернемся к исходным переменным: $\log_2 14 + 2\log_2 56$.Свяжем $a$ и $b$: $b = \log_2 56 = \log_2(4 \cdot 14) = \log_2 4 + \log_2 14 = 2 + a$.Тогда $a+2b = a + 2(a+2) = a + 2a + 4 = 3a + 4$.Подставим значение $a$: $3\log_2 14 + 4$.Выражение можно также преобразовать к виду $3\log_2(2\cdot7)+4 = 3(1+\log_2 7)+4 = 3+3\log_2 7+4 = 7+3\log_2 7$.Ответ: $3\log_2 14 + 4$.

6)Введем замену: пусть $a = \log_5 7\sqrt{5}$ и $b = \log_5 7$.Числитель дроби: $\log_5^2 7\sqrt{5} + 2\log_5^2 7 - 3(\log_5 7\sqrt{5})(\log_5 7) = a^2 + 2b^2 - 3ab$.Перегруппируем и разложим на множители: $a^2 - 3ab + 2b^2 = (a-b)(a-2b)$.Знаменатель дроби: $\log_5 7\sqrt{5} - \log_5 49$.Поскольку $49=7^2$, знаменатель равен $\log_5 7\sqrt{5} - \log_5 7^2 = \log_5 7\sqrt{5} - 2\log_5 7 = a-2b$.Теперь выражение имеет вид: $\frac{(a-b)(a-2b)}{a-2b}$.Так как $a-2b = \log_5 7\sqrt{5} - 2\log_5 7 = \log_5(7\cdot 5^{1/2}) - \log_5 7^2 = \log_5 7 + 1/2 - 2\log_5 7 = 1/2 - \log_5 7 \neq 0$, можно сократить дробь.Результат равен $a-b$.Подставим значения $a$ и $b$:$\log_5 7\sqrt{5} - \log_5 7 = \log_5\left(\frac{7\sqrt{5}}{7}\right) = \log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{1/2} = \frac{1}{2}$.Ответ: $\frac{1}{2}$.

7)Введем замену: пусть $a = \log_4 12$ и $b = \log_4 \frac{1}{3}$.Числитель дроби: $\log_4^2 12 + 3\log_4^2 \frac{1}{3} + 4(\log_4 12)(\log_4 \frac{1}{3}) = a^2 + 3b^2 + 4ab$.Перегруппируем и разложим на множители: $a^2 + 4ab + 3b^2 = (a+b)(a+3b)$.Знаменатель дроби: $\log_4 12 + 3\log_4 \frac{1}{3} = a+3b$.Выражение примет вид: $\frac{(a+b)(a+3b)}{a+3b}$.Так как $a+3b = \log_4 12 + 3\log_4(1/3) = \log_4 12 + \log_4((1/3)^3) = \log_4(12/27) = \log_4(4/9) \neq 0$, можно сократить дробь.Результат равен $a+b$.Подставим значения $a$ и $b$:$\log_4 12 + \log_4 \frac{1}{3} = \log_4\left(12 \cdot \frac{1}{3}\right) = \log_4 4 = 1$.Ответ: $1$.

8)Введем замену: пусть $a = \log_2 3$ и $b = \log_2 12$.Числитель дроби: $2\log_2^2 3 - \log_2^2 12 - \log_2 3 \log_2 12 = 2a^2 - b^2 - ab$.Перегруппируем и разложим на множители: $2a^2 - ab - b^2 = (2a+b)(a-b)$.Знаменатель дроби: $2\log_2 3 + \log_2 12 = 2a+b$.Выражение примет вид: $\frac{(2a+b)(a-b)}{2a+b}$.Так как $2a+b = 2\log_2 3 + \log_2 12 = \log_2 3^2 + \log_2 12 = \log_2(9 \cdot 12) = \log_2 108 \neq 0$, можно сократить дробь.Результат равен $a-b$.Подставим значения $a$ и $b$:$\log_2 3 - \log_2 12 = \log_2\left(\frac{3}{12}\right) = \log_2\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2 2^{-2} = -2$.Ответ: $-2$.