Номер 220, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Требуется найти логарифм числа $ \sqrt[5]{8} $ по основаниям 2; $ \frac{1}{2} $; 4; 16; 64.

Сначала упростим число под знаком логарифма, представив его в виде степени с основанием 2: $ \sqrt[5]{8} = 8^{\frac{1}{5}} = (2^3)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{3}{5}} $.

Теперь вычислим логарифмы для каждого основания. Мы будем использовать свойство логарифма $ \log_{a^k} (b^m) = \frac{m}{k} \log_a b $. Когда $ a=b $, получаем $ \log_{a^k} (a^m) = \frac{m}{k} $.

а) Основание 2: $ \log_2(\sqrt[5]{8}) = \log_2(2^{\frac{3}{5}}) = \frac{3}{5} $.

б) Основание $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $: $ \log_{\frac{1}{2}}(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^{-1}}(2^{\frac{3}{5}}) = \frac{3/5}{-1} = -\frac{3}{5} $.

в) Основание $ 4 = 2^2 $: $ \log_4(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^2}(2^{\frac{3}{5}}) = \frac{3/5}{2} = \frac{3}{10} $.

г) Основание $ 16 = 2^4 $: $ \log_{16}(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^4}(2^{\frac{3}{5}}) = \frac{3/5}{4} = \frac{3}{20} $.

д) Основание $ 64 = 2^6 $: $ \log_{64}(\sqrt[5]{8}) = \log_{2^6}(2^{\frac{3}{5}}) = \frac{3/5}{6} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} $.

Ответ: $ \frac{3}{5} $; $ -\frac{3}{5} $; $ \frac{3}{10} $; $ \frac{3}{20} $; $ \frac{1}{10} $.

2)

Требуется найти основание $ b $, при котором логарифм числа $ \sqrt{27} $ равен $ \frac{3}{2} $; $ \frac{2}{3} $; $ -\frac{1}{2} $; $ -\frac{3}{4} $.

Сначала упростим число под знаком логарифма, представив его в виде степени с основанием 3: $ \sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{\frac{3}{2}} $.

По определению логарифма, если $ \log_b a = x $, то $ b^x = a $. В нашем случае $ a = 3^{\frac{3}{2}} $. Получаем уравнение $ b^x = 3^{\frac{3}{2}} $. Чтобы найти $ b $, возведем обе части уравнения в степень $ \frac{1}{x} $: $ (b^x)^{\frac{1}{x}} = (3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{x}} \implies b = 3^{\frac{3}{2x}} $.

а) Логарифм равен $ x = \frac{3}{2} $: $ b = 3^{\frac{3}{2 \cdot (3/2)}} = 3^{\frac{3}{3}} = 3^1 = 3 $.

б) Логарифм равен $ x = \frac{2}{3} $: $ b = 3^{\frac{3}{2 \cdot (2/3)}} = 3^{\frac{3}{4/3}} = 3^{3 \cdot \frac{3}{4}} = 3^{\frac{9}{4}} $.

в) Логарифм равен $ x = -\frac{1}{2} $: $ b = 3^{\frac{3}{2 \cdot (-1/2)}} = 3^{\frac{3}{-1}} = 3^{-3} = \frac{1}{27} $.

г) Логарифм равен $ x = -\frac{3}{4} $: $ b = 3^{\frac{3}{2 \cdot (-3/4)}} = 3^{\frac{3}{-3/2}} = 3^{3 \cdot (-2/3)} = 3^{-2} = \frac{1}{9} $.

Ответ: 3; $ 3^{\frac{9}{4}} $; $ \frac{1}{27} $; $ \frac{1}{9} $.