Номер 224, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для решения данного выражения введем замену: пусть $\log_3 2 = x$. Тогда, по свойству логарифмов, $\log_2 3 = \frac{1}{\log_3 2} = \frac{1}{x}$.
Упростим первую скобку:
$\log_3 2 + \log_2 81 + 4 = x + \log_2 (3^4) + 4 = x + 4\log_2 3 + 4 = x + \frac{4}{x} + 4 = \frac{x^2 + 4x + 4}{x} = \frac{(x+2)^2}{x}$.
Упростим вторую скобку, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:
$\log_3 2 - 2\log_{18} 2 = x - 2 \frac{\log_3 2}{\log_3 18} = x - 2 \frac{x}{\log_3 (9 \cdot 2)} = x - 2 \frac{x}{\log_3 9 + \log_3 2} = x - \frac{2x}{2+x} = \frac{x(x+2) - 2x}{x+2} = \frac{x^2+2x-2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$(\frac{(x+2)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+2}) \cdot \log_2 3 - \log_3 2 = (\frac{(x+2)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+2}) \cdot \frac{1}{x} - x$.
Сократим дроби: $\frac{(x+2)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{x^2}}{\cancel{x} \cdot \cancel{(x+2)}} \cdot \frac{1}{\cancel{x}} - x = (x+2) - x = 2$.
Ответ: 2

2) Введем замену: пусть $\log_2 7 = x$. Тогда $\log_7 2 = \frac{1}{x}$.
Упростим первую скобку:
$\log_2 7 + \log_7 16 + 4 = x + \log_7 (2^4) + 4 = x + 4\log_7 2 + 4 = x + \frac{4}{x} + 4 = \frac{x^2 + 4x + 4}{x} = \frac{(x+2)^2}{x}$.
Упростим вторую скобку:
$\log_2 7 - 2\log_{28} 7 = x - 2 \frac{\log_2 7}{\log_2 28} = x - 2 \frac{x}{\log_2 (4 \cdot 7)} = x - 2 \frac{x}{\log_2 4 + \log_2 7} = x - \frac{2x}{2+x} = \frac{x(x+2) - 2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$.
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$(\frac{(x+2)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+2}) \cdot \log_7 2 - \log_2 7 = (\frac{(x+2)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+2}) \cdot \frac{1}{x} - x = (x+2) - x = 2$.
Ответ: 2

3) Введем замену: пусть $\log_6 3 = x$. Тогда $\log_3 6 = \frac{1}{x}$.
Упростим первую скобку:
$\log_6 3 + \log_3 1296 + 4 = x + \log_3 (6^4) + 4 = x + 4\log_3 6 + 4 = x + \frac{4}{x} + 4 = \frac{x^2 + 4x + 4}{x} = \frac{(x+2)^2}{x}$.
Упростим вторую скобку:
$\log_6 3 - \log_{108} 9 = x - \frac{\log_6 9}{\log_6 108} = x - \frac{\log_6 3^2}{\log_6 (36 \cdot 3)} = x - \frac{2\log_6 3}{\log_6 36 + \log_6 3} = x - \frac{2x}{2+x} = \frac{x(x+2) - 2x}{x+2} = \frac{x^2}{x+2}$.
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$(\frac{(x+2)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+2}) \cdot \log_3 6 - \log_6 3 = (\frac{(x+2)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+2}) \cdot \frac{1}{x} - x = (x+2) - x = 2$.
Ответ: 2

4) Введем замену: пусть $\log_5 7 = x$. Тогда $\log_7 5 = \frac{1}{x}$.
Упростим первую скобку:
$\log_5 7 + 9\log_7 5 + 6 = x + 9 \cdot \frac{1}{x} + 6 = \frac{x^2 + 6x + 9}{x} = \frac{(x+3)^2}{x}$.
Упростим вторую скобку:
$\log_5 7 - 3\log_{875} 7 = x - 3 \frac{\log_5 7}{\log_5 875} = x - 3 \frac{x}{\log_5 (125 \cdot 7)} = x - 3 \frac{x}{\log_5 5^3 + \log_5 7} = x - \frac{3x}{3+x} = \frac{x(x+3) - 3x}{x+3} = \frac{x^2}{x+3}$.
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$(\frac{(x+3)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+3}) \cdot \log_7 5 - \log_5 7 = (\frac{(x+3)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+3}) \cdot \frac{1}{x} - x = (x+3) - x = 3$.
Ответ: 3

5) Введем замену: пусть $\log_2 5 = x$. Тогда $\log_5 2 = \frac{1}{x}$.
Упростим первую скобку:
$\log_2 5 + 16\log_5 2 + 8 = x + \frac{16}{x} + 8 = \frac{x^2 + 8x + 16}{x} = \frac{(x+4)^2}{x}$.
Упростим вторую скобку:
$\log_2 5 - 4\log_{80} 5 = x - 4 \frac{\log_2 5}{\log_2 80} = x - 4 \frac{x}{\log_2 (16 \cdot 5)} = x - 4 \frac{x}{\log_2 16 + \log_2 5} = x - \frac{4x}{4+x} = \frac{x(x+4) - 4x}{x+4} = \frac{x^2}{x+4}$.
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$(\frac{(x+4)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+4}) \cdot \log_5 2 - \log_2 5 = (\frac{(x+4)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+4}) \cdot \frac{1}{x} - x = (x+4) - x = 4$.
Ответ: 4

6) Введем замену: пусть $\log_4 6 = x$. Тогда $\log_6 4 = \frac{1}{x}$.
Упростим первую скобку:
$\log_4 6 + \log_6 4 + 2 = x + \frac{1}{x} + 2 = \frac{x^2 + 2x + 1}{x} = \frac{(x+1)^2}{x}$.
Упростим вторую скобку:
$\log_4 6 - \log_{24} 6 = x - \frac{\log_4 6}{\log_4 24} = x - \frac{x}{\log_4 (4 \cdot 6)} = x - \frac{x}{\log_4 4 + \log_4 6} = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x(x+1) - x}{x+1} = \frac{x^2}{x+1}$.
Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$(\frac{(x+1)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+1}) \cdot \log_6 4 - \log_4 6 = (\frac{(x+1)^2}{x}) \cdot (\frac{x^2}{x+1}) \cdot \frac{1}{x} - x = (x+1) - x = 1$.
Ответ: 1