Страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\log_{\frac{1}{5}} 9 + 2\log_{\frac{1}{5}} \frac{5}{3}$

Для решения используем свойства логарифмов: $n \log_b a = \log_b a^n$ и $\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)$.

Сначала преобразуем второе слагаемое, используя свойство степени логарифма:

$2\log_{\frac{1}{5}} \frac{5}{3} = \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \log_{\frac{1}{5}} \frac{25}{9}$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\log_{\frac{1}{5}} 9 + \log_{\frac{1}{5}} \frac{25}{9}$

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:

$\log_{\frac{1}{5}} \left(9 \cdot \frac{25}{9}\right) = \log_{\frac{1}{5}} 25$

Чтобы найти значение логарифма, необходимо найти степень $x$, в которую нужно возвести основание $\frac{1}{5}$, чтобы получить 25. То есть, решить уравнение $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25$.

Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $25 = 5^2$, получаем:

$(5^{-1})^x = 5^2$

$5^{-x} = 5^2$

Отсюда следует, что $-x = 2$, а значит $x = -2$.

Ответ: -2

2) $\log_3 8 + 3\log_3 \frac{9}{2}$

Используем те же свойства логарифмов.

Преобразуем второе слагаемое:

$3\log_3 \frac{9}{2} = \log_3 \left(\frac{9}{2}\right)^3 = \log_3 \frac{9^3}{2^3} = \log_3 \frac{729}{8}$

Подставляем преобразованное слагаемое в выражение:

$\log_3 8 + \log_3 \frac{729}{8}$

Применяем свойство суммы логарифмов:

$\log_3 \left(8 \cdot \frac{729}{8}\right) = \log_3 729$

Найдём значение логарифма, решив уравнение $3^x = 729$.

Так как $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$, $3^6=729$, то $x = 6$.

Ответ: 6

3) $\log_7 196 - 2\log_7 2$

Используем свойства логарифмов: $n \log_b a = \log_b a^n$ и $\log_b a - \log_b c = \log_b \left(\frac{a}{c}\right)$.

Преобразуем вычитаемое:

$2\log_7 2 = \log_7 2^2 = \log_7 4$

Подставляем в исходное выражение:

$\log_7 196 - \log_7 4$

Применяем свойство разности логарифмов:

$\log_7 \left(\frac{196}{4}\right) = \log_7 49$

Найдём значение, решив уравнение $7^x = 49$.

Так как $49 = 7^2$, то $x = 2$.

Ответ: 2

4) $\log_2 \sqrt{3} + \frac{1}{2}\log_2 \frac{4}{3}$

Используем свойства логарифмов, как и в предыдущих примерах.

Преобразуем второе слагаемое:

$\frac{1}{2}\log_2 \frac{4}{3} = \log_2 \left(\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}\right) = \log_2 \sqrt{\frac{4}{3}} = \log_2 \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \log_2 \frac{2}{\sqrt{3}}$

Подставляем полученное выражение обратно в исходное:

$\log_2 \sqrt{3} + \log_2 \frac{2}{\sqrt{3}}$

Применяем свойство суммы логарифмов:

$\log_2 \left(\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \log_2 2$

По основному свойству логарифма $\log_b b = 1$, получаем:

$\log_2 2 = 1$

Ответ: 1

1) Для логарифмирования выражения $lg(a^2b^3)$ необходимо применить свойства логарифмов. Сначала используем свойство логарифма произведения $log_c(xy) = log_c(x) + log_c(y)$:
$lg(a^2b^3) = lg(a^2) + lg(b^3)$
Затем, к каждому слагаемому применим свойство логарифма степени $log_c(x^n) = n \cdot log_c(x)$:
$lg(a^2) + lg(b^3) = 2lg(a) + 3lg(b)$
Ответ: $2lg(a) + 3lg(b)$

2) Для выражения $lg(5a^2x^2)$ применим свойство логарифма произведения, чтобы разбить выражение на сумму логарифмов:
$lg(5a^2x^2) = lg(5) + lg(a^2) + lg(x^2)$
Далее применим свойство логарифма степени к членам, содержащим переменные:
$lg(5) + 2lg(a) + 2lg(x)$
Ответ: $lg(5) + 2lg(a) + 2lg(x)$

3) В выражении $lg((mn)^3)$ сначала применим свойство логарифма степени:
$lg((mn)^3) = 3lg(mn)$
После этого применим свойство логарифма произведения:
$3(lg(m) + lg(n)) = 3lg(m) + 3lg(n)$
Ответ: $3lg(m) + 3lg(n)$

4) Для логарифмирования выражения $lg\sqrt[3]{7a^3b}$ сначала представим кубический корень в виде степени $1/3$:
$lg\sqrt[3]{7a^3b} = lg((7a^3b)^{1/3})$
Применим свойство логарифма степени:
$\frac{1}{3}lg(7a^3b)$
Теперь используем свойство логарифма произведения:
$\frac{1}{3}(lg(7) + lg(a^3) + lg(b))$
Применим свойство логарифма степени для $lg(a^3)$:
$\frac{1}{3}(lg(7) + 3lg(a) + lg(b))$
Раскроем скобки, умножив каждый член на $\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{3}lg(7) + \frac{3}{3}lg(a) + \frac{1}{3}lg(b) = \frac{1}{3}lg(7) + lg(a) + \frac{1}{3}lg(b)$
Ответ: $\frac{1}{3}lg(7) + lg(a) + \frac{1}{3}lg(b)$

5) Для выражения $lg(4\sqrt[5]{2ab^3})$ преобразуем его, используя свойства степеней. Представим $4$ как $2^2$ и корень пятой степени как степень $1/5$:
$lg(4\sqrt[5]{2ab^3}) = lg(2^2 \cdot (2ab^3)^{1/5}) = lg(2^2 \cdot 2^{1/5} \cdot a^{1/5} \cdot b^{3/5})$
Сложим показатели степеней с основанием 2 ($2 + 1/5 = 11/5$):
$lg(2^{11/5}a^{1/5}b^{3/5})$
Применим свойство логарифма произведения:
$lg(2^{11/5}) + lg(a^{1/5}) + lg(b^{3/5})$
И в завершение применим свойство логарифма степени:
$\frac{11}{5}lg(2) + \frac{1}{5}lg(a) + \frac{3}{5}lg(b)$
Ответ: $\frac{11}{5}lg(2) + \frac{1}{5}lg(a) + \frac{3}{5}lg(b)$

6) Для выражения $lg(7a^8b^8\sqrt{c})$ представим квадратный корень из $c$ в виде степени $c^{1/2}$:
$lg(7a^8b^8c^{1/2})$
Применим свойство логарифма произведения:
$lg(7) + lg(a^8) + lg(b^8) + lg(c^{1/2})$
Затем применим свойство логарифма степени для каждого слагаемого:
$lg(7) + 8lg(a) + 8lg(b) + \frac{1}{2}lg(c)$
Ответ: $lg(7) + 8lg(a) + 8lg(b) + \frac{1}{2}lg(c)$

1) $x = \log_{3}27$

По определению логарифма, выражение $\log_{a}b = c$ эквивалентно уравнению $a^{c} = b$.

Применяя это определение к нашему уравнению, где $a=3$, $b=27$, и неизвестное $x$ является значением логарифма ($c=x$), получаем:

$3^{x} = 27$

Чтобы найти $x$, представим 27 как степень числа 3:

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3}$

Теперь уравнение выглядит так: $3^{x} = 3^{3}$.

Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$x = 3$

Ответ: 3

2) $y = \log_{2}16$

Используя определение логарифма ($a^{c} = b$), перепишем уравнение в экспоненциальной форме. Здесь $a=2$, $b=16$, $c=y$:

$2^{y} = 16$

Представим число 16 как степень с основанием 2:

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}$

Подставим это в уравнение: $2^{y} = 2^{4}$.

Отсюда следует, что $y=4$.

Ответ: 4

3) $z = \log_{5}625$

По определению логарифма, данное уравнение эквивалентно $5^{z} = 625$.

Представим 625 как степень числа 5:

$625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{4}$

Таким образом, уравнение принимает вид $5^{z} = 5^{4}$.

Следовательно, $z=4$.

Ответ: 4

4) $x = \log_{2}0,125$

Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: $2^{x} = 0,125$.

Преобразуем десятичную дробь 0,125 в обыкновенную:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Теперь уравнение выглядит так: $2^{x} = \frac{1}{8}$.

Так как $8 = 2^{3}$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^{3}} = 2^{-3}$.

Получаем уравнение с одинаковыми основаниями: $2^{x} = 2^{-3}$.

Отсюда, $x=-3$.

Ответ: -3

5) $\log_{\frac{3}{2}}y = 2$

В этом уравнении неизвестной является аргумент логарифма $y$.

По определению логарифма, если $\log_{a}b = c$, то $b = a^{c}$.

Применим это правило. Здесь $a=\frac{3}{2}$, $c=2$, $b=y$.

$y = \left(\frac{3}{2}\right)^{2}$

Возводим дробь в квадрат:

$y = \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$

6) $\log_{\frac{1}{2}}z = -3$

Используя определение логарифма, перепишем уравнение в экспоненциальной форме. Здесь $a=\frac{1}{2}$, $c=-3$, $b=z$.

$z = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$

Для возведения дроби в отрицательную степень нужно перевернуть дробь и возвести в положительную степень:

$z = \left(\frac{2}{1}\right)^{3} = 2^{3}$

Вычисляем:

$z = 8$

Ответ: 8

1) $\frac{25^{\log_5 2 + 1}}{49^{\log_7 4}}$

Для решения используем свойства степеней и логарифмов.
Сначала преобразуем числитель: $25^{\log_5 2 + 1}$.
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$25^{\log_5 2 + 1} = 25^{\log_5 2} \cdot 25^1$.
Теперь преобразуем первый множитель, зная, что $25 = 5^2$:
$25^{\log_5 2} = (5^2)^{\log_5 2}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(5^2)^{\log_5 2} = 5^{2 \log_5 2}$.
Используем свойство логарифма $k \log_b a = \log_b a^k$:
$5^{2 \log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 4} = 4$.
Таким образом, числитель равен $4 \cdot 25 = 100$.
Теперь преобразуем знаменатель: $49^{\log_7 4}$.
Зная, что $49 = 7^2$:
$49^{\log_7 4} = (7^2)^{\log_7 4} = 7^{2 \log_7 4} = 7^{\log_7 4^2} = 7^{\log_7 16}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$7^{\log_7 16} = 16$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6,25$.
Ответ: 6,25

2) $\frac{16^{0,5 \log_4 10}}{10^{\lg 4 + 1}}$

Преобразуем числитель. Заметим, что $16 = 4^2$ и $0,5 = \frac{1}{2}$:
$16^{0,5 \log_4 10} = (4^2)^{\frac{1}{2} \log_4 10}$.
Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$4^{2 \cdot \frac{1}{2} \log_4 10} = 4^{\log_4 10}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$4^{\log_4 10} = 10$.
Теперь преобразуем знаменатель. Запись $\lg$ означает логарифм по основанию 10 ($\log_{10}$).
$10^{\lg 4 + 1} = 10^{\log_{10} 4 + 1}$.
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$10^{\log_{10} 4} \cdot 10^1$.
По основному логарифмическому тождеству $10^{\log_{10} 4} = 4$.
Значит, знаменатель равен $4 \cdot 10 = 40$.
Находим значение дроби:
$\frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0,25$.
Ответ: 0,25

3) $25^{2 - \log_5 2} + 7^{-\log_7 3}$

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $25^{2 - \log_5 2}$.
Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$25^{2 - \log_5 2} = \frac{25^2}{25^{\log_5 2}}$.
Вычисляем числитель: $25^2 = 625$.
Преобразуем знаменатель: $25^{\log_5 2} = (5^2)^{\log_5 2} = 5^{2 \log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4} = 4$.
Таким образом, первое слагаемое равно $\frac{625}{4}$.
Второе слагаемое: $7^{-\log_7 3}$.
Используем свойство $k \log_b a = \log_b a^k$:
$7^{-\log_7 3} = 7^{\log_7 3^{-1}}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$7^{\log_7 3^{-1}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Теперь сложим полученные значения:
$\frac{625}{4} + \frac{1}{3}$.
Приводим к общему знаменателю 12:
$\frac{625 \cdot 3}{12} + \frac{1 \cdot 4}{12} = \frac{1875 + 4}{12} = \frac{1879}{12}$.
Это несократимая дробь.
Ответ: $\frac{1879}{12}$

4) $\log_4 \frac{1}{5} + \log_4 36 + \frac{1}{2}\log_4 \frac{25}{81}$

Для решения используем свойства логарифмов.
Сначала упростим последнее слагаемое, используя свойство $k \log_b a = \log_b a^k$:
$\frac{1}{2}\log_4 \frac{25}{81} = \log_4 \left(\left(\frac{25}{81}\right)^{\frac{1}{2}}\right) = \log_4 \sqrt{\frac{25}{81}} = \log_4 \frac{5}{9}$.
Теперь все выражение выглядит так:
$\log_4 \frac{1}{5} + \log_4 36 + \log_4 \frac{5}{9}$.
Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_b x + \log_b y = \log_b(xy)$:
$\log_4 \left(\frac{1}{5} \cdot 36 \cdot \frac{5}{9}\right)$.
Вычислим произведение под знаком логарифма:
$\frac{1}{5} \cdot 36 \cdot \frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 36 \cdot 5}{5 \cdot 9} = \frac{36}{9} = 4$.
Получаем выражение:
$\log_4 4$.
По свойству $\log_b b = 1$:
$\log_4 4 = 1$.
Ответ: 1

1)Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $. Применяя это свойство к выражению, получаем:

$ \log_2 12 + \log_2 \frac{5}{3} + \log_2 \frac{4}{5} = \log_2 (12 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{5}) $

Вычислим произведение под знаком логарифма:

$ 12 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 4 \cdot 4 = 16 $

Таким образом, выражение упрощается до $ \log_2 16 $.

Поскольку $ 16 = 2^4 $, то по определению логарифма:

$ \log_2 16 = \log_2(2^4) = 4 $

Ответ: $4$

2)Преобразуем аргументы логарифмов, представив их в виде степеней:

$ 128 = 2^7 $

$ \frac{1}{125} = 125^{-1} = (5^3)^{-1} = 5^{-3} $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ (\log_5 128) \cdot (\log_2 \frac{1}{125}) = (\log_5 2^7) \cdot (\log_2 5^{-3}) $

Используем свойство логарифма степени $ \log_a(b^c) = c \cdot \log_a b $:

$ (7 \cdot \log_5 2) \cdot (-3 \cdot \log_2 5) = -21 \cdot (\log_5 2 \cdot \log_2 5) $

Применяем свойство $ \log_a b \cdot \log_b a = 1 $ (которое следует из формулы перехода к новому основанию):

$ -21 \cdot 1 = -21 $

Ответ: $-21$

3)Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $ 3^{2-\log_3 5} $. Используем свойство степени $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $:

$ 3^{2-\log_3 5} = \frac{3^2}{3^{\log_3 5}} $

По основному логарифмическому тождеству $ a^{\log_a b} = b $, знаменатель $ 3^{\log_3 5} = 5 $.

Таким образом, первое слагаемое равно $ \frac{9}{5} $.

Второе слагаемое: $ (\frac{1}{3})^{\log_3 5} $. Представим $ \frac{1}{3} $ как $ 3^{-1} $ и воспользуемся свойствами степеней и логарифмов:

$ (\frac{1}{3})^{\log_3 5} = (3^{-1})^{\log_3 5} = 3^{-1 \cdot \log_3 5} = 3^{-\log_3 5} = 3^{\log_3 5^{-1}} $

По основному логарифмическому тождеству, получаем: $ 3^{\log_3 5^{-1}} = 5^{-1} = \frac{1}{5} $.

Сложим полученные результаты:

$ \frac{9}{5} + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} = 2 $

Ответ: $2$

4)Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $ 9^{3-\log_3 54} $. Представим основание $ 9 $ как $ 3^2 $:

$ 9^{3-\log_3 54} = (3^2)^{3-\log_3 54} = 3^{2(3-\log_3 54)} = 3^{6 - 2\log_3 54} $

Используем свойство степени $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $ и свойство логарифма $ k \cdot \log_a b = \log_a b^k $:

$ \frac{3^6}{3^{2\log_3 54}} = \frac{3^6}{3^{\log_3 54^2}} $

По основному логарифмическому тождеству, $ 3^{\log_3 54^2} = 54^2 $. Выражение принимает вид:

$ \frac{3^6}{54^2} = \frac{729}{2916} $. Упростим дробь, зная, что $ 54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3 $, тогда $ 54^2 = (2 \cdot 3^3)^2 = 4 \cdot 3^6 $.

$ \frac{3^6}{4 \cdot 3^6} = \frac{1}{4} $

Второе слагаемое: $ 7^{-\log_7 4} $. Используем свойство $ k \cdot \log_a b = \log_a b^k $ и основное логарифмическое тождество:

$ 7^{-\log_7 4} = 7^{\log_7 4^{-1}} = 4^{-1} = \frac{1}{4} $

Складываем полученные результаты:

$ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Ответ: $\frac{1}{2}$

1) Сравним числа $9^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{2}{3}\right)}$ и $\sqrt{5}$.
Сначала упростим первое выражение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Для этого приведем основание степени к основанию логарифма.
Представим $9$ как степень числа $\frac{1}{9}$: $9 = \left(\frac{1}{9}\right)^{-1}$.
Подставим это в исходное выражение:
$9^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{2}{3}\right)} = \left(\left(\frac{1}{9}\right)^{-1}\right)^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{2}{3}\right)} = \left(\frac{1}{9}\right)^{-1 \cdot \log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{2}{3}\right)}$.
Используя свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, внесем множитель $-1$ под знак логарифма:
$\left(\frac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)} = \left(\frac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{3}{2}\right)}$.
Теперь, согласно основному логарифмическому тождеству, получаем:
$\left(\frac{1}{9}\right)^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{3}{2}\right)} = \frac{3}{2}$.
Задача сводится к сравнению чисел $\frac{3}{2}$ и $\sqrt{5}$.
$\frac{3}{2} = 1.5$.
Чтобы сравнить $1.5$ и $\sqrt{5}$, возведем оба положительных числа в квадрат:
$(1.5)^2 = 2.25$.
$(\sqrt{5})^2 = 5$.
Так как $2.25 < 5$, то $1.5 < \sqrt{5}$, и, следовательно, $\frac{3}{2} < \sqrt{5}$.
Ответ: $9^{\log_{\frac{1}{9}}\left(\frac{2}{3}\right)} < \sqrt{5}$.

2) Сравним числа $\sqrt[3]{3}$ и $\left(\frac{1}{36}\right)^{\log_6 2}$.
Сначала упростим второе выражение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
Представим основание степени $\frac{1}{36}$ как степень числа $6$, которое является основанием логарифма:
$\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$.
Подставим это в выражение:
$\left(\frac{1}{36}\right)^{\log_6 2} = (6^{-2})^{\log_6 2} = 6^{-2 \cdot \log_6 2}$.
Используя свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, внесем множитель $-2$ под знак логарифма:
$6^{\log_6 (2^{-2})} = 6^{\log_6 \left(\frac{1}{4}\right)}$.
Теперь, согласно основному логарифмическому тождеству, получаем:
$6^{\log_6 \left(\frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{4}$.
Задача сводится к сравнению чисел $\sqrt[3]{3}$ и $\frac{1}{4}$.
Оценим значение $\sqrt[3]{3}$. Так как $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, то $1 < \sqrt[3]{3} < 2$. В частности, $\sqrt[3]{3} > 1$.
Число $\frac{1}{4}$ равно $0.25$, что очевидно меньше $1$.
Поскольку $\sqrt[3]{3} > 1$ и $\frac{1}{4} < 1$, мы можем заключить, что $\sqrt[3]{3} > \frac{1}{4}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3} > \left(\frac{1}{36}\right)^{\log_6 2}$.

Для решения каждого уравнения мы будем использовать основное определение логарифма: $log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$. При этом основание логарифма $b$ должно удовлетворять условиям $b > 0$ и $b \neq 1$.

1) $log_x 36 = 0,5$

Применяя определение логарифма, получаем показательное уравнение:

$x^{0,5} = 36$

Поскольку $0,5 = \frac{1}{2}$, уравнение можно переписать как:

$x^{1/2} = 36$

Это то же самое, что и $\sqrt{x} = 36$.

Чтобы найти $x$, возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 36^2$

$x = 1296$

Проверяем: основание $x=1296$ положительное и не равно 1.

Ответ: $x=1296$.

2) $log_x 27 = \frac{3}{2}$

По определению логарифма, имеем:

$x^{3/2} = 27$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$ (обратную к $\frac{3}{2}$):

$(x^{3/2})^{2/3} = 27^{2/3}$

$x = (3^3)^{2/3}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$x = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$

Проверяем: основание $x=9$ положительное и не равно 1.

Ответ: $x=9$.

3) $log_x 64 = 1,2$

Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

Уравнение принимает вид $log_x 64 = \frac{6}{5}$.

По определению логарифма:

$x^{6/5} = 64$

Возведем обе части в степень $\frac{5}{6}$:

$(x^{6/5})^{5/6} = 64^{5/6}$

$x = (2^6)^{5/6}$

$x = 2^{6 \cdot \frac{5}{6}} = 2^5 = 32$

Проверяем: основание $x=32$ положительное и не равно 1.

Ответ: $x=32$.

4) $log_x 2 = -0,5$

Представим $-0,5$ в виде дроби: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

Уравнение становится $log_x 2 = -\frac{1}{2}$.

По определению логарифма:

$x^{-1/2} = 2$

Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$\frac{1}{x^{1/2}} = 2$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 2$

Отсюда $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$.

Возводим обе части в квадрат:

$x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Проверяем: основание $x=\frac{1}{4}$ положительное и не равно 1.

Ответ: $x=\frac{1}{4}$.

Есептің шарты бойынша, бізге $lg2$ және $lg3$ мәндері белгілі. Мұндағы $lg$ ондық логарифмді білдіреді ($lg(x) = \log_{10}(x)$). Логарифмдердің қасиеттерін пайдаланып, басқа сандардың логарифмдерін есептеуге болады.

Негізгі идея

Логарифмнің қасиеттеріне сәйкес, егер біз санның жай көбейткіштерінің логарифмдерін білсек, онда сол санның өзінің логарифмін таба аламыз. Бізге $lg2$ және $lg3$ белгілі.

Сонымен қатар, $lg(10) = 1$ екені белгілі. Осыдан $lg5$ мәнін таба аламыз:

$lg(5) = lg(\frac{10}{2}) = lg(10) - lg(2) = 1 - lg(2)$.

Демек, біз $lg2$, $lg3$ және $lg5$ мәндерін білеміз. Бұл дегеніміз, біз жай көбейткіштерге жіктегенде тек 2, 3 және 5 сандарынан тұратын кез келген $N$ натурал санының логарифмін есептей аламыз. Мұндай сандардың жалпы түрі: $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$, мұндағы $a, b, c$ - теріс емес бүтін сандар.

Осындай санның логарифмі келесідей есептеледі:

$lg(N) = lg(2^a \cdot 3^b \cdot 5^c) = a \cdot lg2 + b \cdot lg3 + c \cdot lg5$.

Енді 100-ден аспайтын (яғни 1-ден 99-ға дейінгі) және осы шартқа сәйкес келетін барлық натурал сандарды тізіп шығайық. Сондай-ақ, $lg(1)=0$ болғандықтан, 1 саны да осы тізімге кіреді.

Осы шартқа сәйкес келетін сандар:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, 64, 72, 75, 80, 81, 90, 96.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, 64, 72, 75, 80, 81, 90, 96.

1)

Екі санды $a$ және $b$ деп белгілейік. Есептің шарты бойынша, олардың ондық логарифмдерінің айырымы 1-ге тең:

$\lg a - \lg b = 1$

Логарифмдердің қасиеті бойынша, логарифмдердің айырымы бөліндінің логарифміне тең: $\log_c x - \log_c y = \log_c(x/y)$. Бұл қасиетті қолданып, теңдеуді түрлендіреміз:

$\lg(a/b) = 1$

Ондық логарифмнің анықтамасы бойынша ($ \lg x = y \iff x = 10^y $), екі санның қатынасын табамыз:

$a/b = 10^1$

$a/b = 10$

Ответ: 10

2)

Екі санның ондық логарифмдерінің айырымы 2-ге тең болсын:

$\lg a - \lg b = 2$

Логарифмдердің айырымының қасиетін қолданамыз:

$\lg(a/b) = 2$

Ондық логарифмнің анықтамасынан екі санның қатынасын табамыз:

$a/b = 10^2$

$a/b = 100$

Ответ: 100

3)

Екі санның ондық логарифмдерінің айырымы 3-ке тең болсын:

$\lg a - \lg b = 3$

Логарифмдердің айырымының қасиетін қолданамыз:

$\lg(a/b) = 3$

Ондық логарифмнің анықтамасынан екі санның қатынасын табамыз:

$a/b = 10^3$

$a/b = 1000$

Ответ: 1000