Страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для того чтобы определить, являются ли неравенства $a^x > a^3$ и $x > 3$ равносильными (мәндес), необходимо рассмотреть свойства показательной функции $y = a^x$ в зависимости от значения ее основания $a$.

Случай 1: Основание $a > 1$.

Если основание показательной функции больше 1, то функция является строго возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, для $a > 1$ неравенство $a^x > a^3$ выполняется тогда и только тогда, когда показатель степени $x$ больше показателя степени $3$, то есть $x > 3$. В этом случае данные неравенства равносильны.

Случай 2: Основание $0 < a < 1$.

Если основание показательной функции находится в интервале от 0 до 1, то функция является строго убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, для $0 < a < 1$ неравенство $a^x > a^3$ выполняется тогда и только тогда, когда показатель степени $x$ меньше показателя степени $3$, то есть $x < 3$. В этом случае неравенства $a^x > a^3$ и $x > 3$ не являются равносильными.

Таким образом, утверждение о равносильности неравенств $a^x > a^3$ и $x > 3$ истинно только при условии $a > 1$.

Ответ: Утверждение верно при $a > 1$.

2)

Рассмотрим утверждение: из неравенства $7^{x^2} > 7^x$ следует неравенство $x^2 < x$.

Мы имеем дело с показательным неравенством. Основание степени $a=7$.

Поскольку основание $7 > 1$, показательная функция $y = 7^u$ является строго возрастающей. Это свойство означает, что если $a^{u_1} > a^{u_2}$ при $a > 1$, то $u_1 > u_2$.

Применим это свойство к нашему неравенству $7^{x^2} > 7^x$. Здесь $u_1 = x^2$ и $u_2 = x$.

Следовательно, неравенство $7^{x^2} > 7^x$ равносильно неравенству $x^2 > x$.

Утверждение в задаче гласит, что из $7^{x^2} > 7^x$ следует $x^2 < x$. Это противоречит свойству возрастающей показательной функции, так как из $7^{x^2} > 7^x$ должно следовать $x^2 > x$.

Следовательно, данное утверждение является ложным.

Ответ: Утверждение ложно. Из неравенства $7^{x^2} > 7^x$ следует неравенство $x^2 > x$.

3)

Рассмотрим утверждение о равносильности неравенств $(\frac{1}{9})^x > (\frac{1}{3})^{x-1}$ и $2x < x - 1$.

Для решения первого неравенства приведем степени к одному основанию. Заметим, что $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = (\frac{1}{3})^2$.

Подставим это в исходное неравенство:

$((\frac{1}{3})^2)^x > (\frac{1}{3})^{x-1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(\frac{1}{3})^{2x} > (\frac{1}{3})^{x-1}$

Теперь мы имеем показательное неравенство с основанием $a = \frac{1}{3}$.

Поскольку основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция $y = (\frac{1}{3})^u$ является строго убывающей. Это свойство означает, что если $a^{u_1} > a^{u_2}$ при $0 < a < 1$, то $u_1 < u_2$ (знак неравенства для показателей меняется на противоположный).

Применим это свойство к нашему неравенству. Здесь $u_1 = 2x$ и $u_2 = x-1$.

Следовательно, неравенство $(\frac{1}{3})^{2x} > (\frac{1}{3})^{x-1}$ равносильно неравенству $2x < x - 1$.

Это в точности совпадает со вторым неравенством, данным в условии. Таким образом, данные два неравенства равносильны.

Ответ: Утверждение верно.

Берілген функция: $y = 3^{|x|}$. Бұл функцияның анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны болып табылады, яғни $x \in (-\infty; +\infty)$.

1) ең үлкен мәнді

Функцияның ең үлкен мәнін қарастырайық. Көрсеткіштік функция $y = a^t$ (мұнда $a > 1$) өспелі функция болып табылады. Біздің жағдайда негіз $a=3$, яғни $3>1$. Демек, $y = 3^{|x|}$ функциясының мәні $|x|$ өрнегінің мәні өскен сайын өседі.
$x$ айнымалысы шексіздікке ұмтылғанда ($x \to \infty$ немесе $x \to -\infty$), оның модулі $|x|$ де оң шексіздікке ұмтылады ($|x| \to +\infty$).
Сондықтан, функцияның мәні де шексіз өседі: $y = 3^{|x|} \to 3^{+\infty} \to +\infty$.
Бұл функцияның жоғарыдан шектелмегенін білдіреді. Демек, оның нақты ең үлкен мәнін көрсету мүмкін емес.
Ответ: ең үлкен мәнін көрсету мүмкін емес.

2) ең кіші мәнді

Функцияның ең кіші мәнін табайық. $y = 3^{|x|}$ функциясының ең кіші мәнін табу үшін оның дәреже көрсеткіші $|x|$-тің ең кіші мәнін табуымыз керек.
Кез келген нақты $x$ саны үшін оның модулі теріс емес, яғни $|x| \ge 0$. $|x|$ өрнегінің ең кіші мәні 0-ге тең, және бұл мәнге тек $x=0$ болғанда ғана жетеді.
Осы $x=0$ нүктесіндегі функцияның мәнін есептейміз:
$y_{min} = 3^{|0|} = 3^0 = 1$.
$x$-тің нөлден өзге кез келген мәнінде $|x| > 0$ болады, сондықтан $3^{|x|} > 3^0 = 1$ теңсіздігі орындалады. Бұл 1 мәні функцияның ең кіші мәні екенін көрсетеді.
Ответ: иә, ең кіші мәні бар, ол 1-ге тең.

Берілген есептің шарты бойынша $y = 2^{2x}$ функциясының мәндері $\frac{1}{4}$-ден үлкен болуы керек. Бұл шартты теңсіздік түрінде жазайық:

$y > \frac{1}{4}$

$y$-тің орнына оның өрнегін қоямыз:

$2^{2x} > \frac{1}{4}$

Бұл көрсеткіштік теңсіздікті шешу үшін оның екі жағын да бірдей негізге келтіру керек. $\frac{1}{4}$ санын 2 негізінің дәрежесі ретінде өрнектейік:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Осыны теңсіздікке қойсақ:

$2^{2x} > 2^{-2}$

Көрсеткіштік функцияның негізі $a=2$, яғни $a>1$ болғандықтан, дәреже көрсеткіштерін салыстырғанда теңсіздік белгісі өзгермейді:

$2x > -2$

Теңсіздіктің екі жағын да 2-ге бөлеміз:

$x > -1$

Демек, $x$ аргументінің $(-1; +\infty)$ аралығындағы кез келген мәнінде $y=2^{2x}$ функциясының сәйкес мәндері $\frac{1}{4}$-ден үлкен болады.

Ответ: $x > -1$

196. Берілген сандар тізбегі 1; 3; 9; 27; 81; ... геометриялық прогрессияны құрайды. Бұл есепті шешу үшін алдымен осы прогрессияның жалпы мүшесінің формуласын, содан кейін оған сәйкес келетін көрсеткіштік функцияны және аргументтің мәндерін анықтау қажет.

1.Геометриялық прогрессияны талдау.

Прогрессияның бірінші мүшесі $b_1 = 1$.

Прогрессияның еселігін (айырмасын) табамыз: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{1} = 3$. Тексеру: $\frac{9}{3} = 3$, $\frac{27}{9} = 3$.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Біздің жағдайда, формула келесідей болады: $b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$. Мұндағы $n$ – прогрессия мүшесінің реттік нөмірі ($n = 1, 2, 3, ...$).

2.Көрсеткіштік функцияны анықтау.

Көрсеткіштік функцияның жалпы түрі $y = a^x$, мұнда $a > 0$ және $a \neq 1$.

Біз прогрессияның мүшелері ($b_n$) осы функцияның мәндеріне ($y$) тең болуын қалаймыз. Яғни, $y = b_n$.

$a^x = 3^{n-1}$

Бұл теңдіктен, ең ыңғайлы таңдау $a=3$ екені көрініп тұр. Сонда біз іздеген көрсеткіштік функция $y = 3^x$ болады.

3.Аргументтің мәндерін табу.

Енді $y = 3^x$ функциясының аргументі $x$-тің қандай мәндерінде прогрессияның мүшелері алынатынын анықтаймыз.

$3^x = b_n = 3^{n-1}$

Негіздері бірдей болғандықтан, дәреже көрсеткіштерін теңестіреміз:

$x = n-1$

$n$ натурал сандар ($1, 2, 3, ...$) болғандықтан, $x$ үшін сәйкес мәндерді табамыз:

• Егер $n=1$, онда $x = 1 - 1 = 0$. Функцияның мәні: $y = 3^0 = 1$ (прогрессияның бірінші мүшесі).
• Егер $n=2$, онда $x = 2 - 1 = 1$. Функцияның мәні: $y = 3^1 = 3$ (прогрессияның екінші мүшесі).
• Егер $n=3$, онда $x = 3 - 1 = 2$. Функцияның мәні: $y = 3^2 = 9$ (прогрессияның үшінші мүшесі).
• Егер $n=4$, онда $x = 4 - 1 = 3$. Функцияның мәні: $y = 3^3 = 27$ (прогрессияның төртінші мүшесі).

Жалғастыра берсек, аргумент $x$ теріс емес бүтін сандардың мәндерін қабылдайтынын көреміз: $x \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$.

Ответ: Берілген геометриялық прогрессияның мүшелері $y=3^x$ көрсеткіштік функциясының мәндерін береді, егер аргумент $x$ теріс емес бүтін сандардың мәндерін қабылдаса: $x = 0, 1, 2, 3, \dots$.