Страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Основание показательной функции $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$) определяет её ключевые свойства. В первую очередь, от значения основания $a$ зависят монотонность функции и скорость её изменения (крутизна графика).
- Монотонность: Если основание $a > 1$, функция является строго возрастающей. Это значит, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. Если же основание $0 < a < 1$, функция является строго убывающей, и для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.
- Скорость изменения: При $a > 1$ чем больше $a$, тем быстрее растёт функция, и её график становится «круче». При $0 < a < 1$ чем меньше $a$ (ближе к нулю), тем быстрее убывает функция.

Ответ: Через основание показательной функции определяются её монотонность (возрастание при $a>1$ и убывание при $0

2. Утверждение о том, что график любой показательной функции $y = a^x$ проходит через точку $(0;1)$, основано на свойстве степени с нулевым показателем. Чтобы проверить принадлежность точки графику, нужно подставить её координаты ($x=0, y=1$) в уравнение функции:
$y = a^x$
$1 = a^0$
Согласно математическому правилу, любое положительное число, возведённое в степень 0, равно 1. Поскольку для показательной функции основание $a$ всегда удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, равенство $a^0 = 1$ всегда будет верным. Следовательно, при $x=0$ значение функции всегда равно 1, независимо от основания $a$.

Ответ: Утверждение основано на свойстве $a^0=1$ для любого $a > 0, a \neq 1$. При подстановке $x=0$ в уравнение $y=a^x$ всегда получается $y=1$.

3. Графики двух функций симметричны относительно оси ординат (оси OY), если одна из них является результатом отражения другой относительно этой оси. Для показательной функции $y = a^x$, симметричной ей будет функция, у которой каждому значению $x$ соответствует то же значение $y$, что и у исходной функции при значении $-x$.
Пусть первая функция $f(x) = a^x$. Симметричная ей функция $g(x)$ должна удовлетворять условию $g(x) = f(-x)$.
$f(-x) = a^{-x} = (a^{-1})^x = (\frac{1}{a})^x$.
Таким образом, функция, график которой симметричен графику $y = a^x$ относительно оси ординат, — это $y = (\frac{1}{a})^x$. Это означает, что их основания должны быть взаимно обратными числами. Например, графики функций $y=2^x$ и $y=(\frac{1}{2})^x$ симметричны относительно оси OY, что и показано на рисунке.

Ответ: Графики показательных функций $y=a^x$ и $y=b^x$ симметричны относительно оси ординат, если их основания являются взаимно обратными числами, то есть $b = 1/a$.

4. Рассмотрим, как меняется значение функции $y = a^x$ при возрастании аргумента $x$ на всей числовой оси (от $-\infty$ до $+\infty$) для двух случаев.

1) В случае, когда основание $a > 1$, показательная функция является строго возрастающей. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. Когда $x$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$, значение функции $y = a^x$ непрерывно возрастает, принимая значения от 0 (не включая) до $+\infty$.

2) В случае, когда основание $0 < a < 1$, показательная функция является строго убывающей. Это означает, что при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Когда $x$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$, значение функции $y = a^x$ непрерывно убывает, принимая значения от $+\infty$ до 0 (не включая).

Ответ: 1) При $a > 1$, с ростом $x$ значение функции $y = a^x$ возрастает от 0 до $+\infty$. 2) При $0 < a < 1$, с ростом $x$ значение функции $y = a^x$ убывает от $+\infty$ до 0.

Для построения графиков функций $y = 3^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ в одной системе координат, мы проанализируем каждую функцию и найдем несколько ключевых точек для построения.

Анализ функции $y = 3^x$
Это показательная функция с основанием $a = 3$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), а область значений — все положительные действительные числа ($y > 0$). График проходит через точку $(0, 1)$, потому что $3^0 = 1$.
Вычислим значения для нескольких точек:
При $x = -2$, $y = 3^{-2} = \frac{1}{9} \approx 0.11$
При $x = -1$, $y = 3^{-1} = \frac{1}{3} \approx 0.33$
При $x = 0$, $y = 3^0 = 1$
При $x = 1$, $y = 3^1 = 3$
При $x = 2$, $y = 3^2 = 9$

Анализ функции $y = (\frac{1}{3})^x$
Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей. Эту функцию можно также представить в виде $y = 3^{-x}$. Это означает, что ее график симметричен графику функции $y=3^x$ относительно оси ординат (OY). График также проходит через точку $(0, 1)$.
Вычислим значения для нескольких точек:
При $x = -2$, $y = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$
При $x = -1$, $y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$
При $x = 0$, $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$
При $x = 1$, $y = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3} \approx 0.33$
При $x = 2$, $y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} \approx 0.11$

Теперь нанесем вычисленные точки на координатную плоскость и соединим их плавными линиями, чтобы получить графики обеих функций.

Ответ: Графики функций $y = 3^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ построены на рисунке выше. Оба графика проходят через общую точку $(0,1)$ и симметричны друг другу относительно оси ординат (OY).

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (определена). Найдем область определения для каждой из предложенных функций.

1) $f(x) = 4^{\frac{1}{x}}$

Данная функция является показательной. Основание степени $a=4$ — положительное число. Показательная функция $a^u$ определена, когда определен ее показатель $u$. В данном случае показатель степени равен $u = \frac{1}{x}$.

Выражение $\frac{1}{x}$ представляет собой дробь и определено для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Таким образом, должно выполняться условие $x \neq 0$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

2) $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x^2}}$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$, которое является положительным и не равным единице. Функция определена, когда определен ее показатель степени, то есть выражение $u = \frac{1}{x^2}$.

Данное выражение является дробью, поэтому его знаменатель не должен быть равен нулю. Записываем условие: $x^2 \neq 0$.

Решая это неравенство, получаем $x \neq 0$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

3) $f(x) = \frac{1}{7^x}$

Данная функция представляет собой дробь. Область определения функции находится из условия, что знаменатель дроби не должен равняться нулю: $7^x \neq 0$.

Показательная функция $y = a^x$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) принимает только строго положительные значения для любого действительного $x$. Таким образом, $7^x > 0$ для всех $x \in R$, и, следовательно, $7^x$ никогда не равно нулю.

Поэтому никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается. Область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$

4) $f(x) = 0,35^x$

Это стандартная показательная функция вида $y = a^x$ с основанием $a = 0,35$.

По определению, показательная функция $y = a^x$ определена для всех действительных значений $x$, если ее основание $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

В данном случае основание $a = 0,35$ удовлетворяет этим условиям, так как $0,35 > 0$ и $0,35 \neq 1$.

Следовательно, область определения данной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$

1) Дана функция $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x - 2$.

Чтобы найти множество значений функции, нужно определить, какие значения может принимать $y$. Рассмотрим показательную часть функции, $\left(\frac{1}{5}\right)^x$. Для любой показательной функции вида $a^x$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) область значений есть интервал $(0; +\infty)$. Это означает, что выражение $\left(\frac{1}{5}\right)^x$ всегда строго больше нуля для любого действительного $x$.

Мы имеем неравенство:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x > 0$

Чтобы получить выражение для $f(x)$, вычтем 2 из обеих частей неравенства:

$\left(\frac{1}{5}\right)^x - 2 > 0 - 2$

$f(x) > -2$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие -2. Это можно записать в виде интервала.

Ответ: $E(f) = (-2; +\infty)$.

2) Дана функция $f(x) = 6^{x+2} + \frac{1}{4}$.

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим показательную часть $6^{x+2}$. Так как основание $6 > 0$, значение этого выражения всегда будет положительным для любого $x$.

Имеем неравенство:

$6^{x+2} > 0$

Чтобы найти множество значений для $f(x)$, прибавим $\frac{1}{4}$ к обеим частям неравенства:

$6^{x+2} + \frac{1}{4} > 0 + \frac{1}{4}$

$f(x) > \frac{1}{4}$

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие $\frac{1}{4}$.

Ответ: $E(f) = \left(\frac{1}{4}; +\infty\right)$.

3) Дана функция $f(x) = 2,5^x + 3$.

Показательная часть функции, $2,5^x$, всегда принимает положительные значения, так как основание $2,5 > 0$.

Следовательно:

$2,5^x > 0$

Для нахождения множества значений $f(x)$, прибавим 3 к обеим частям этого неравенства:

$2,5^x + 3 > 0 + 3$

$f(x) > 3$

Множество значений функции $f(x)$ состоит из всех чисел, которые строго больше 3.

Ответ: $E(f) = (3; +\infty)$.

4) Дана функция $f(x) = 0,7^{x-1} - 1$.

Рассмотрим показательную часть $0,7^{x-1}$. Основание $0,7$ является положительным числом ($0,7>0$), поэтому значение выражения $0,7^{x-1}$ всегда будет больше нуля для любого действительного $x$.

$0,7^{x-1} > 0$

Теперь вычтем 1 из обеих частей неравенства, чтобы найти область значений для $f(x)$:

$0,7^{x-1} - 1 > 0 - 1$

$f(x) > -1$

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, которые строго больше -1.

Ответ: $E(f) = (-1; +\infty)$.

1) $x$-тің $0; 1; 2; 3; 4; \dots$ мәндерін $y=3^x$ функциясына біртіндеп қоямыз.
Егер $x=0$ болса, $y = 3^0 = 1$.
Егер $x=1$ болса, $y = 3^1 = 3$.
Егер $x=2$ болса, $y = 3^2 = 9$.
Егер $x=3$ болса, $y = 3^3 = 27$.
Егер $x=4$ болса, $y = 3^4 = 81$.
Осылайша, $y$ функциясының мәндері келесі тізбекті құрайды: $1; 3; 9; 27; 81; \dots$.
Ответ: $1; 3; 9; 27; 81; \dots$

2) $x$-тің $-1; -2; -3; -4; \dots$ мәндерін $y=3^x$ функциясына қоямыз.
Егер $x=-1$ болса, $y = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Егер $x=-2$ болса, $y = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Егер $x=-3$ болса, $y = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.
Егер $x=-4$ болса, $y = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$.
Осылайша, $y$ функциясының мәндері келесі тізбекті құрайды: $\frac{1}{3}; \frac{1}{9}; \frac{1}{27}; \frac{1}{81}; \dots$.
Ответ: $\frac{1}{3}; \frac{1}{9}; \frac{1}{27}; \frac{1}{81}; \dots$

3) $x$-тің $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{4}; \frac{3}{4}; \dots$ мәндерін $y=3^x$ функциясына қоямыз.
Егер $x=\frac{1}{2}$ болса, $y = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.
Егер $x=\frac{1}{3}$ болса, $y = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$.
Егер $x=\frac{2}{3}$ болса, $y = 3^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$.
Егер $x=\frac{1}{4}$ болса, $y = 3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}$.
Егер $x=\frac{3}{4}$ болса, $y = 3^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4]{27}$.
Осылайша, $y$ функциясының мәндері келесі тізбекті құрайды: $\sqrt{3}; \sqrt[3]{3}; \sqrt[3]{9}; \sqrt[4]{3}; \sqrt[4]{27}; \dots$.
Ответ: $\sqrt{3}; \sqrt[3]{3}; \sqrt[3]{9}; \sqrt[4]{3}; \sqrt[4]{27}; \dots$

Чтобы определить, является ли показательная функция вида $y = a^x$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) возрастающей (өспелі) или убывающей (кемімелі), необходимо посмотреть на ее основание $a$.
• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей.
• Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей.
Рассмотрим каждую из предложенных функций:

1) $y = 4^x$
Основание этой функции $a = 4$. Так как $4 > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: өспелі.

2) $y = 10^x$
Основание этой функции $a = 10$. Так как $10 > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: өспелі.

3) $y = (\frac{1}{4})^x$
Основание этой функции $a = \frac{1}{4}$. Так как $0 < \frac{1}{4} < 1$, функция является убывающей.
Ответ: кемімелі.

4) $y = (\sqrt{2})^x$
Основание этой функции $a = \sqrt{2}$. Поскольку значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, что больше 1, то функция является возрастающей.
Ответ: өспелі.