Номер 180, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (определена). Найдем область определения для каждой из предложенных функций.

1) $f(x) = 4^{\frac{1}{x}}$

Данная функция является показательной. Основание степени $a=4$ — положительное число. Показательная функция $a^u$ определена, когда определен ее показатель $u$. В данном случае показатель степени равен $u = \frac{1}{x}$.

Выражение $\frac{1}{x}$ представляет собой дробь и определено для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Таким образом, должно выполняться условие $x \neq 0$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

2) $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{x^2}}$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$, которое является положительным и не равным единице. Функция определена, когда определен ее показатель степени, то есть выражение $u = \frac{1}{x^2}$.

Данное выражение является дробью, поэтому его знаменатель не должен быть равен нулю. Записываем условие: $x^2 \neq 0$.

Решая это неравенство, получаем $x \neq 0$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

3) $f(x) = \frac{1}{7^x}$

Данная функция представляет собой дробь. Область определения функции находится из условия, что знаменатель дроби не должен равняться нулю: $7^x \neq 0$.

Показательная функция $y = a^x$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) принимает только строго положительные значения для любого действительного $x$. Таким образом, $7^x > 0$ для всех $x \in R$, и, следовательно, $7^x$ никогда не равно нулю.

Поэтому никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается. Область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$

4) $f(x) = 0,35^x$

Это стандартная показательная функция вида $y = a^x$ с основанием $a = 0,35$.

По определению, показательная функция $y = a^x$ определена для всех действительных значений $x$, если ее основание $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

В данном случае основание $a = 0,35$ удовлетворяет этим условиям, так как $0,35 > 0$ и $0,35 \neq 1$.

Следовательно, область определения данной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$