Номер 186, страница 104 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Сравним $(3,5)^{-\sqrt{2}}$ и $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}}$. Сначала преобразуем второе выражение, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$: $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}} = (3,5^{-1})^{-\sqrt{2}} = 3,5^{(-1) \cdot (-\sqrt{2})} = 3,5^{\sqrt{2}}$. Теперь задача сводится к сравнению двух чисел: $(3,5)^{-\sqrt{2}}$ и $3,5^{\sqrt{2}}$. Основание степени $a=3,5$. Так как $a > 1$, показательная функция $y=3,5^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней: $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$. Очевидно, что $\sqrt{2} > -\sqrt{2}$. Поскольку функция возрастающая, то из $\sqrt{2} > -\sqrt{2}$ следует, что $3,5^{\sqrt{2}} > (3,5)^{-\sqrt{2}}$. Следовательно, $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}} > (3,5)^{-\sqrt{2}}$.
Ответ: $(3,5)^{-\sqrt{2}} < (\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}}$.

2) Сравним $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}}$ и $(\frac{3}{4})^2$. Основание степени $a=\frac{3}{4}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{3}{4})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. Теперь сравним показатели степеней: $1+\sqrt{3}$ и $2$. Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1,732$. Тогда $1+\sqrt{3} \approx 1+1,732 = 2,732$. Поскольку $2,732 > 2$, то $1+\sqrt{3} > 2$. Так как функция убывающая, то из $1+\sqrt{3} > 2$ следует, что $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}} < (\frac{3}{4})^2$.
Ответ: $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}} < (\frac{3}{4})^2$.

3) Сравним $(\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$ и $(\sqrt{5})^{\sqrt{3}-2}$. Основание степени $a=\sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$, то $a > 1$. Следовательно, показательная функция $y=(\sqrt{5})^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\sqrt{2}-\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}-2$. Оценим знаки показателей: $\sqrt{2} < \sqrt{5}$, поэтому $\sqrt{2}-\sqrt{5} < 0$. $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$, поэтому $\sqrt{3}-2 < 0$. Оба показателя отрицательны. Сравним их, определив, какое из выражений больше. Предположим, что $\sqrt{3}-2 > \sqrt{2}-\sqrt{5}$. Перенесем члены: $\sqrt{3}+\sqrt{5} > \sqrt{2}+2$. Обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат: $(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 > (\sqrt{2}+2)^2$ $3 + 2\sqrt{15} + 5 > 2 + 4\sqrt{2} + 4$ $8 + 2\sqrt{15} > 6 + 4\sqrt{2}$ $2 + 2\sqrt{15} > 4\sqrt{2}$ $1 + \sqrt{15} > 2\sqrt{2}$ Снова возведем в квадрат (обе части положительны): $(1 + \sqrt{15})^2 > (2\sqrt{2})^2$ $1 + 2\sqrt{15} + 15 > 8$ $16 + 2\sqrt{15} > 8$, что является верным неравенством. Значит, наше предположение было верным: $\sqrt{3}-2 > \sqrt{2}-\sqrt{5}$. Поскольку функция $y=(\sqrt{5})^x$ возрастающая, большему показателю соответствует большее значение функции.
Ответ: $(\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{5}} < (\sqrt{5})^{\sqrt{3}-2}$.

4) Сравним $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}}$ и $3^{\sqrt{3}}$. Преобразуем первое выражение: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}} = ((\sqrt{3})^{-1})^{-2\sqrt{3}} = (\sqrt{3})^{(-1) \cdot (-2\sqrt{3})} = (\sqrt{3})^{2\sqrt{3}}$. Теперь используем тот факт, что $\sqrt{3} = 3^{1/2}$: $(\sqrt{3})^{2\sqrt{3}} = (3^{1/2})^{2\sqrt{3}} = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}}$. В результате преобразований мы получили, что первое выражение в точности равно второму.
Ответ: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}}$.