Номер 191, страница 104 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Бұл есепте көрсеткіштік функция $y = a^x$-тің қасиеттерін және оның негізі $a$ мен дәреже көрсеткіші $x$-ке тәуелділігін қарастырамыз. $a^x$ мәнін 1-мен салыстыру үшін, $x$-тің таңбасын (оң, теріс немесе нөл) ескеру қажет. Кез келген $a \gt 0$ үшін $a^0 = 1$ екені белгілі, бұл біздің салыстыруымыздың негізгі нүктесі болады.

1) Егер $a > 1$ болса

Бұл жағдайда $y = a^x$ көрсеткіштік функциясы өспелі болады. Бұл дегеніміз, аргументтің ($x$) үлкен мәніне функцияның ($a^x$) үлкен мәні сәйкес келеді. Функцияның графигі $(0, 1)$ нүктесі арқылы өтеді және $x$ өскен сайын жоғары қарай бағытталады.

Осыған сүйене отырып, $x$-тің үш түрлі жағдайын қарастырамыз:
- Егер $x > 0$ болса, онда функцияның өспелі екенін ескеріп, $a^x > a^0$ деп жазамыз. $a^0 = 1$ болғандықтан, бұдан $a^x > 1$ шығады.
- Егер $x = 0$ болса, онда анықтама бойынша $a^x = a^0 = 1$.
- Егер $x < 0$ болса, онда функцияның өспелілігіне байланысты $a^x < a^0$ болады. Демек, $a^x < 1$. Сонымен қатар, көрсеткіштік функцияның мәні әрқашан оң болғандықтан, $0 < a^x < 1$ теңсіздігі орындалады.

Ответ: Егер $a > 1$ болса, онда: $x > 0$ үшін $a^x > 1$; $x = 0$ үшін $a^x = 1$; $x < 0$ үшін $0 < a^x < 1$.

2) Егер $0 < a < 1$ болса

Бұл жағдайда $y = a^x$ көрсеткіштік функциясы кемімелі болады. Яғни, аргументтің ($x$) үлкен мәніне функцияның ($a^x$) кіші мәні сәйкес келеді. Бұл функцияның графигі де $(0, 1)$ нүктесі арқылы өтеді, бірақ $x$ өскен сайын төмен қарай бағытталады.

$x$-тің мәндерін талдайық:
- Егер $x > 0$ болса, онда функцияның кемімелі екенін ескеріп, теңсіздік таңбасы кері өзгереді: $a^x < a^0$. $a^0 = 1$ болғандықтан, бұдан $a^x < 1$ шығады. Сондай-ақ, $a^x > 0$, яғни $0 < a^x < 1$.
- Егер $x = 0$ болса, онда, алдыңғы жағдайдағыдай, $a^x = a^0 = 1$.
- Егер $x < 0$ болса, онда функцияның кемімелілігіне байланысты $a^x > a^0$ болады. Демек, $a^x > 1$.

Ответ: Егер $0 < a < 1$ болса, онда: $x > 0$ үшін $0 < a^x < 1$; $x = 0$ үшін $a^x = 1$; $x < 0$ үшін $a^x > 1$.