Номер 188, страница 104 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) y = 2^x және y = 4^x;

Чтобы найти точки пересечения графиков функций, необходимо приравнять их уравнения:$2^x = 4^x$Поскольку $4 = 2^2$, уравнение можно переписать в виде:$2^x = (2^2)^x$$2^x = 2^{2x}$Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:$x = 2x$$2x - x = 0$$x = 0$Мы получили одно значение $x$, при котором графики пересекаются. Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 0$ в любое из исходных уравнений:$y = 2^0 = 1$Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке с координатами $(0, 1)$.

Ответ: 1 точка пересечения.

2) y = 2^x және y = x⁴;

Для нахождения точек пересечения решим уравнение $2^x = x^4$. Это трансцендентное уравнение, которое решается графическим или численным анализом.Рассмотрим поведение функций $f(x) = 2^x$ и $g(x) = x^4$.1. Рассмотрим отрицательные значения $x$. При $x = -1$, имеем $f(-1) = 2^{-1} = 0.5$, а $g(-1) = (-1)^4 = 1$. Здесь $f(x) < g(x)$. При $x = -0.5$, имеем $f(-0.5) = 2^{-0.5} = 1/\sqrt{2} \approx 0.707$, а $g(-0.5) = (-0.5)^4 = 0.0625$. Здесь $f(x) > g(x)$. Поскольку обе функции непрерывны, между $x = -1$ и $x = -0.5$ существует как минимум одна точка пересечения.2. Рассмотрим положительные значения $x$. При $x = 1$, имеем $f(1) = 2^1 = 2$, а $g(1) = 1^4 = 1$. Здесь $f(x) > g(x)$. При $x = 2$, имеем $f(2) = 2^2 = 4$, а $g(2) = 2^4 = 16$. Здесь $f(x) < g(x)$. Так как на отрезке $[1, 2]$ функции меняют свое соотношение ($f(1) > g(1)$ и $f(2) < g(2)$), то на интервале $(1, 2)$ есть вторая точка пересечения.3. Проверим большие значения $x$. Известно, что показательная функция растет быстрее степенной. Проверим, пересекутся ли они снова. При $x = 16$, имеем $f(16) = 2^{16}$, а $g(16) = 16^4 = (2^4)^4 = 2^{16}$. Таким образом, $x=16$ является точным решением. Это третья точка пересечения.При $x > 16$ функция $y=2^x$ растет значительно быстрее, чем $y=x^4$, поэтому других точек пересечения не будет.Итак, графики функций имеют три точки пересечения.

Ответ: 3 точки пересечения.

3) y = 2^x және y = x²;

Для нахождения точек пересечения решим уравнение $2^x = x^2$. Проанализируем это уравнение графически.1. Рассмотрим положительные значения $x$. Можно заметить, что есть очевидные целочисленные решения: При $x = 2$: $2^2 = 4$ и $2^2 = 4$. Это первая точка пересечения. При $x = 4$: $2^4 = 16$ и $4^2 = 16$. Это вторая точка пересечения. Между $x=2$ и $x=4$ парабола $y=x^2$ находится выше графика $y=2^x$ (например, при $x=3$, $3^2=9 > 2^3=8$). При $x>4$ показательная функция растет быстрее, и пересечений больше не будет.2. Рассмотрим отрицательные значения $x$. При $x = 0$, $2^0 = 1$, а $0^2 = 0$. При $x = -1$, $2^{-1} = 0.5$, а $(-1)^2 = 1$. На отрезке $[-1, 0]$ соотношение функций меняется: $2^0 > 0^2$, но $2^{-1} < (-1)^2$. Так как обе функции непрерывны, на интервале $(-1, 0)$ должна быть точка пересечения. Чтобы убедиться, что она только одна, рассмотрим производную разности функций $h(x) = 2^x - x^2$. $h'(x) = 2^x \ln(2) - 2x$. При $x < 0$ оба слагаемых ($2^x \ln(2)$ и $-2x$) положительны, значит $h'(x) > 0$. Функция $h(x)$ строго возрастает при $x<0$, следовательно, она может пересечь ось абсцисс (т.е. $h(x)=0$) не более одного раза.Таким образом, всего существует три точки пересечения.

Ответ: 3 точки пересечения.

4) y = 2^x және y = -3x²?

Рассмотрим уравнение $2^x = -3x^2$.Функция $y = 2^x$ является показательной функцией. Область её значений — все положительные действительные числа, то есть $y > 0$ для любого $x$.Функция $y = -3x^2$ является квадратичной функцией, её график — парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение этой функции достигается при $x=0$ и равно $y=0$. Для всех остальных $x$, значение $y$ отрицательно. Таким образом, область значений этой функции — $y \le 0$.Левая часть уравнения, $2^x$, всегда строго положительна. Правая часть уравнения, $-3x^2$, всегда неположительна (то есть меньше или равна нулю).Положительное число не может быть равно неположительному числу. Следовательно, уравнение $2^x = -3x^2$ не имеет действительных решений.Это означает, что графики данных функций не пересекаются.

Ответ: 0 точек пересечения.