Номер 190, страница 104 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для построения графиков заданных функций воспользуемся методом элементарных преобразований графиков.

1) $y = 2^{x+3} - 3$

Построение графика этой функции можно выполнить в несколько шагов, начиная с базовой показательной функции $y=2^x$.

1.Базовый график: Строим график функции $y=2^x$. Это стандартная показательная функция, которая возрастает на всей области определения. Она проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(-1, 0.5)$. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.

2.Сдвиг по горизонтали: Преобразуем функцию к виду $y=2^{x+3}$. Согласно правилу $f(x+a)$, график функции $y=2^x$ необходимо сдвинуть на 3 единицы влево вдоль оси Ox. При этом все точки графика смещаются влево на 3. Например, точка $(0, 1)$ переходит в точку $(-3, 1)$. Асимптота $y=0$ остается без изменений.

3.Сдвиг по вертикали: Преобразуем функцию к виду $y=2^{x+3} - 3$. Согласно правилу $f(x)-b$, график функции $y=2^{x+3}$ необходимо сдвинуть на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Все точки графика, включая асимптоту, смещаются вниз на 3. Точка $(-3, 1)$ переходит в точку $(-3, -2)$. Горизонтальная асимптота смещается из $y=0$ в $y=-3$.

Для большей точности найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
  $y = 2^{0+3} - 3 = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5$.
  Точка пересечения: $(0, 5)$.
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
  $0 = 2^{x+3} - 3 \implies 2^{x+3} = 3 \implies x+3 = \log_2{3} \implies x = \log_2{3} - 3 \approx 1.585 - 3 \approx -1.415$.
  Точка пересечения: $(\log_2{3} - 3, 0)$.

Ответ: Ниже представлен график функции $y = 2^{x+3} - 3$, построенный на основе указанных преобразований.

2) $y = 2 - 3^{x-1}$

Для удобства преобразуем функцию к виду $y = -3^{x-1} + 2$. Построение также выполним по шагам, начав с базовой функции $y=3^x$.

1.Базовый график: Строим график функции $y=3^x$. Это возрастающая показательная функция, проходящая через точки $(0, 1)$, $(1, 3)$ и $(-1, 1/3)$. Горизонтальная асимптота - $y=0$.

2.Сдвиг по горизонтали: Преобразуем функцию к виду $y=3^{x-1}$. График $y=3^x$ сдвигается на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Точка $(0, 1)$ переходит в $(1, 1)$. Асимптота $y=0$ не меняется.

3.Отражение: Преобразуем функцию к виду $y=-3^{x-1}$. График $y=3^{x-1}$ симметрично отражается относительно оси Ox. Все положительные значения y становятся отрицательными. Точка $(1, 1)$ переходит в $(1, -1)$. График теперь убывающий, расположен под осью Ox. Асимптота $y=0$ остается на месте.

4.Сдвиг по вертикали: Преобразуем функцию к конечному виду $y=-3^{x-1} + 2$. График $y=-3^{x-1}$ сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Точка $(1, -1)$ переходит в $(1, 1)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также сдвигается на 2 вверх и становится $y=2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
  $y = 2 - 3^{0-1} = 2 - 3^{-1} = 2 - 1/3 = 5/3 \approx 1.67$.
  Точка пересечения: $(0, 5/3)$.
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
  $0 = 2 - 3^{x-1} \implies 3^{x-1} = 2 \implies x-1 = \log_3{2} \implies x = \log_3{2} + 1 \approx 0.631 + 1 \approx 1.631$.
  Точка пересечения: $(\log_3{2} + 1, 0)$.

Ответ: Ниже представлен график функции $y = 2 - 3^{x-1}$, построенный на основе указанных преобразований.