Страница 104 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Чтобы определить, какая из возрастающих показательных функций вида $y = a^x$ (где основание $a > 1$) растет быстрее при увеличении аргумента $x$, необходимо сравнить их основания. Функция с большим основанием растет быстрее.

В данном случае нам нужно сравнить две функции:

$y = 2^x$, основание которой $a_1 = 2$.

$y = (\sqrt{2})^x$, основание которой $a_2 = \sqrt{2}$.

Сравним их основания: $2$ и $\sqrt{2}$.

Поскольку $2 = \sqrt{4}$, а $\sqrt{4} > \sqrt{2}$, то $2 > \sqrt{2}$.

Так как основание функции $y = 2^x$ больше основания функции $y = (\sqrt{2})^x$, то функция $y = 2^x$ растет жылдам (быстрее).

Это можно наглядно продемонстрировать на графиках этих функций. Оба графика проходят через точку $(0, 1)$, но при $x > 0$ график функции $y = 2^x$ поднимается круче, чем график $y = (\sqrt{2})^x$.

Ответ: функция $y=2^x$ растет быстрее.

2) Чтобы определить, какая из убывающих показательных функций вида $y = a^x$ (где основание $0 < a < 1$) убывает быстрее при увеличении аргумента $x$, необходимо сравнить их основания. Функция с меньшим основанием убывает быстрее.

В данном случае нам нужно сравнить две функции:

$y = (\frac{1}{2})^x$, основание которой $a_1 = \frac{1}{2} = 0.5$.

$y = (\frac{1}{3})^x$, основание которой $a_2 = \frac{1}{3} \approx 0.333$.

Сравним их основания: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

Так как знаменатель $3$ больше знаменателя $2$, то дробь $\frac{1}{3}$ меньше дроби $\frac{1}{2}$.

Поскольку основание функции $y = (\frac{1}{3})^x$ меньше основания функции $y = (\frac{1}{2})^x$, то функция $y = (\frac{1}{3})^x$ убывает жылдам (быстрее).

Это также можно увидеть на графике. Оба графика проходят через точку $(0, 1)$, но при $x > 0$ график функции $y = (\frac{1}{3})^x$ расположен ниже графика $y = (\frac{1}{2})^x$, что указывает на более быстрое убывание.

Ответ: функция $y=(\frac{1}{3})^x$ убывает быстрее.

Для сравнения числа с единицей используется свойство показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это значит, что если показатель $x > 0$, то $a^x > a^0 = 1$. Если же $x < 0$, то $a^x < a^0 = 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это значит, что если показатель $x > 0$, то $a^x < a^0 = 1$. Если же $x < 0$, то $a^x > a^0 = 1$.

1) $11^{-5}$

Рассмотрим число $11^{-5}$. Основание степени $a = 11$, показатель степени $x = -5$.

Поскольку основание $a = 11 > 1$, показательная функция $y = 11^x$ является возрастающей.

Показатель степени $x = -5 < 0$. Для возрастающей функции, если аргумент меньше нуля, значение функции меньше единицы.

Следовательно, $11^{-5} < 11^0$, а так как $11^0 = 1$, то $11^{-5} < 1$.

Ответ: $11^{-5} < 1$.

2) $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}}$

Рассмотрим число $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}}$. Основание степени $a = \frac{5}{6}$, показатель степени $x = \frac{2}{3}$.

Поскольку основание $0 < a = \frac{5}{6} < 1$, показательная функция $y = (\frac{5}{6})^x$ является убывающей.

Показатель степени $x = \frac{2}{3} > 0$. Для убывающей функции, если аргумент больше нуля, значение функции меньше единицы.

Следовательно, $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}} < (\frac{5}{6})^0$, а так как $(\frac{5}{6})^0 = 1$, то $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}} < 1$.

Ответ: $(\frac{5}{6})^{\frac{2}{3}} < 1$.

3) $(0,15)^{-3}$

Рассмотрим число $(0,15)^{-3}$. Основание степени $a = 0,15$, показатель степени $x = -3$.

Поскольку основание $0 < a = 0,15 < 1$, показательная функция $y = (0,15)^x$ является убывающей.

Показатель степени $x = -3 < 0$. Для убывающей функции, если аргумент меньше нуля, значение функции больше единицы.

Следовательно, $(0,15)^{-3} > (0,15)^0$, а так как $(0,15)^0 = 1$, то $(0,15)^{-3} > 1$.

Ответ: $(0,15)^{-3} > 1$.

4) $(1,2)^{-2}$

Рассмотрим число $(1,2)^{-2}$. Основание степени $a = 1,2$, показатель степени $x = -2$.

Поскольку основание $a = 1,2 > 1$, показательная функция $y = (1,2)^x$ является возрастающей.

Показатель степени $x = -2 < 0$. Для возрастающей функции, если аргумент меньше нуля, значение функции меньше единицы.

Следовательно, $(1,2)^{-2} < (1,2)^0$, а так как $(1,2)^0 = 1$, то $(1,2)^{-2} < 1$.

Ответ: $(1,2)^{-2} < 1$.

1) Сравним $(3,5)^{-\sqrt{2}}$ и $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}}$. Сначала преобразуем второе выражение, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$: $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}} = (3,5^{-1})^{-\sqrt{2}} = 3,5^{(-1) \cdot (-\sqrt{2})} = 3,5^{\sqrt{2}}$. Теперь задача сводится к сравнению двух чисел: $(3,5)^{-\sqrt{2}}$ и $3,5^{\sqrt{2}}$. Основание степени $a=3,5$. Так как $a > 1$, показательная функция $y=3,5^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней: $-\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$. Очевидно, что $\sqrt{2} > -\sqrt{2}$. Поскольку функция возрастающая, то из $\sqrt{2} > -\sqrt{2}$ следует, что $3,5^{\sqrt{2}} > (3,5)^{-\sqrt{2}}$. Следовательно, $(\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}} > (3,5)^{-\sqrt{2}}$.
Ответ: $(3,5)^{-\sqrt{2}} < (\frac{1}{3,5})^{-\sqrt{2}}$.

2) Сравним $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}}$ и $(\frac{3}{4})^2$. Основание степени $a=\frac{3}{4}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{3}{4})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. Теперь сравним показатели степеней: $1+\sqrt{3}$ и $2$. Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1,732$. Тогда $1+\sqrt{3} \approx 1+1,732 = 2,732$. Поскольку $2,732 > 2$, то $1+\sqrt{3} > 2$. Так как функция убывающая, то из $1+\sqrt{3} > 2$ следует, что $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}} < (\frac{3}{4})^2$.
Ответ: $(\frac{3}{4})^{1+\sqrt{3}} < (\frac{3}{4})^2$.

3) Сравним $(\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{5}}$ и $(\sqrt{5})^{\sqrt{3}-2}$. Основание степени $a=\sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$, то $a > 1$. Следовательно, показательная функция $y=(\sqrt{5})^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\sqrt{2}-\sqrt{5}$ и $\sqrt{3}-2$. Оценим знаки показателей: $\sqrt{2} < \sqrt{5}$, поэтому $\sqrt{2}-\sqrt{5} < 0$. $\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2$, поэтому $\sqrt{3}-2 < 0$. Оба показателя отрицательны. Сравним их, определив, какое из выражений больше. Предположим, что $\sqrt{3}-2 > \sqrt{2}-\sqrt{5}$. Перенесем члены: $\sqrt{3}+\sqrt{5} > \sqrt{2}+2$. Обе части неравенства положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат: $(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 > (\sqrt{2}+2)^2$ $3 + 2\sqrt{15} + 5 > 2 + 4\sqrt{2} + 4$ $8 + 2\sqrt{15} > 6 + 4\sqrt{2}$ $2 + 2\sqrt{15} > 4\sqrt{2}$ $1 + \sqrt{15} > 2\sqrt{2}$ Снова возведем в квадрат (обе части положительны): $(1 + \sqrt{15})^2 > (2\sqrt{2})^2$ $1 + 2\sqrt{15} + 15 > 8$ $16 + 2\sqrt{15} > 8$, что является верным неравенством. Значит, наше предположение было верным: $\sqrt{3}-2 > \sqrt{2}-\sqrt{5}$. Поскольку функция $y=(\sqrt{5})^x$ возрастающая, большему показателю соответствует большее значение функции.
Ответ: $(\sqrt{5})^{\sqrt{2}-\sqrt{5}} < (\sqrt{5})^{\sqrt{3}-2}$.

4) Сравним $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}}$ и $3^{\sqrt{3}}$. Преобразуем первое выражение: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}} = ((\sqrt{3})^{-1})^{-2\sqrt{3}} = (\sqrt{3})^{(-1) \cdot (-2\sqrt{3})} = (\sqrt{3})^{2\sqrt{3}}$. Теперь используем тот факт, что $\sqrt{3} = 3^{1/2}$: $(\sqrt{3})^{2\sqrt{3}} = (3^{1/2})^{2\sqrt{3}} = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}}$. В результате преобразований мы получили, что первое выражение в точности равно второму.
Ответ: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}}$.

1) $y = 9^x$ және $y = 4^x$

Бұл екі функция да $y = a^x$ түріндегі көрсеткіштік функциялар, мұнда негіз $a > 1$.
$y = 9^x$ функциясы үшін негіз $a = 9$.
$y = 4^x$ функциясы үшін негіз $a = 4$.
Екі функцияның да графиктері $(0, 1)$ нүктесі арқылы өтеді, себебі кез келген санның 0-дәрежесі 1-ге тең. $9 > 1$ және $4 > 1$ болғандықтан, екі функция да өспелі болып табылады.

Енді $x$-тің әртүрлі мәндері үшін жағдайларды қарастырайық:

$x > 0$ жағдайында:
Негізі үлкен болатын функцияның мәні де үлкен болады. Яғни, $9 > 4$ болғандықтан, $x$-тің кез келген оң мәнінде $9^x > 4^x$ теңсіздігі орындалады. Мысалы, $x = 2$ болса, $9^2 = 81$ және $4^2 = 16$, ал $81 > 16$. Демек, $x > 0$ аралығында $y = 9^x$ графигі $y = 4^x$ графигінен жоғары орналасқан.

$x = 0$ жағдайында:
$y = 9^0 = 1$ және $y = 4^0 = 1$. Демек, $x = 0$ нүктесінде графиктер $(0, 1)$ нүктесінде қиылысады.

$x < 0$ жағдайында:
$x$ теріс болғанда, негізі үлкен болатын функцияның мәні кіші болады. Яғни, $9 > 4$ болғандықтан, $x$-тің кез келген теріс мәнінде $9^x < 4^x$ теңсіздігі орындалады. Мұны $x = -k$ ($k > 0$) деп алмастыру арқылы көруге болады: $9^{-k} < 4^{-k}$, бұл $\frac{1}{9^k} < \frac{1}{4^k}$ теңсіздігіне эквивалентті. Мысалы, $x = -2$ болса, $9^{-2} = \frac{1}{81}$ және $4^{-2} = \frac{1}{16}$, ал $\frac{1}{81} < \frac{1}{16}$. Демек, $x < 0$ аралығында $y = 9^x$ графигі $y = 4^x$ графигінен төмен орналасқан.

Ответ: $x > 0$ болғанда $y=9^x$ графигі $y=4^x$ графигінен жоғары, $x = 0$ болғанда графиктер $(0, 1)$ нүктесінде қиылысады, ал $x < 0$ болғанда $y=9^x$ графигі $y=4^x$ графигінен төмен орналасқан.

2) $y = (\frac{1}{2})^x$ және $y = (\frac{1}{3})^x$

Бұл екі функция да $y = a^x$ түріндегі көрсеткіштік функциялар, мұнда негіз $0 < a < 1$.
$y = (\frac{1}{2})^x$ функциясы үшін негіз $a = \frac{1}{2}$.
$y = (\frac{1}{3})^x$ функциясы үшін негіз $a = \frac{1}{3}$.
Екі функцияның да графиктері $(0, 1)$ нүктесі арқылы өтеді. Негіздері 1-ден кіші болғандықтан ($0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 1$), екі функция да кемімелі болып табылады.

Енді $x$-тің әртүрлі мәндері үшін жағдайларды қарастырайық:

$x > 0$ жағдайында:
Негізі үлкен болатын функцияның мәні де үлкен болады. Яғни, $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ болғандықтан, $x$-тің кез келген оң мәнінде $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{3})^x$ теңсіздігі орындалады. Мысалы, $x = 2$ болса, $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ және $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$, ал $\frac{1}{4} > \frac{1}{9}$. Демек, $x > 0$ аралығында $y = (\frac{1}{2})^x$ графигі $y = (\frac{1}{3})^x$ графигінен жоғары орналасқан.

$x = 0$ жағдайында:
$y = (\frac{1}{2})^0 = 1$ және $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$. Демек, $x = 0$ нүктесінде графиктер $(0, 1)$ нүктесінде қиылысады.

$x < 0$ жағдайында:
$x$ теріс болғанда, негізі үлкен болатын функцияның мәні кіші болады. Яғни, $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ болғандықтан, $x$-тің кез келген теріс мәнінде $(\frac{1}{2})^x < (\frac{1}{3})^x$ теңсіздігі орындалады. Мұны $x = -k$ ($k > 0$) деп алмастыру арқылы көруге болады: $(\frac{1}{2})^{-k} < (\frac{1}{3})^{-k}$, бұл $2^k < 3^k$ теңсіздігіне эквивалентті. Мысалы, $x = -2$ болса, $(\frac{1}{2})^{-2} = 4$ және $(\frac{1}{3})^{-2} = 9$, ал $4 < 9$. Демек, $x < 0$ аралығында $y = (\frac{1}{2})^x$ графигі $y = (\frac{1}{3})^x$ графигінен төмен орналасқан.

Ответ: $x > 0$ болғанда $y=(\frac{1}{2})^x$ графигі $y=(\frac{1}{3})^x$ графигінен жоғары, $x = 0$ болғанда графиктер $(0, 1)$ нүктесінде қиылысады, ал $x < 0$ болғанда $y=(\frac{1}{2})^x$ графигі $y=(\frac{1}{3})^x$ графигінен төмен орналасқан.

1) y = 2^x және y = 4^x;

Чтобы найти точки пересечения графиков функций, необходимо приравнять их уравнения:$2^x = 4^x$Поскольку $4 = 2^2$, уравнение можно переписать в виде:$2^x = (2^2)^x$$2^x = 2^{2x}$Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:$x = 2x$$2x - x = 0$$x = 0$Мы получили одно значение $x$, при котором графики пересекаются. Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 0$ в любое из исходных уравнений:$y = 2^0 = 1$Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке с координатами $(0, 1)$.

Ответ: 1 точка пересечения.

2) y = 2^x және y = x⁴;

Для нахождения точек пересечения решим уравнение $2^x = x^4$. Это трансцендентное уравнение, которое решается графическим или численным анализом.Рассмотрим поведение функций $f(x) = 2^x$ и $g(x) = x^4$.1. Рассмотрим отрицательные значения $x$. При $x = -1$, имеем $f(-1) = 2^{-1} = 0.5$, а $g(-1) = (-1)^4 = 1$. Здесь $f(x) < g(x)$. При $x = -0.5$, имеем $f(-0.5) = 2^{-0.5} = 1/\sqrt{2} \approx 0.707$, а $g(-0.5) = (-0.5)^4 = 0.0625$. Здесь $f(x) > g(x)$. Поскольку обе функции непрерывны, между $x = -1$ и $x = -0.5$ существует как минимум одна точка пересечения.2. Рассмотрим положительные значения $x$. При $x = 1$, имеем $f(1) = 2^1 = 2$, а $g(1) = 1^4 = 1$. Здесь $f(x) > g(x)$. При $x = 2$, имеем $f(2) = 2^2 = 4$, а $g(2) = 2^4 = 16$. Здесь $f(x) < g(x)$. Так как на отрезке $[1, 2]$ функции меняют свое соотношение ($f(1) > g(1)$ и $f(2) < g(2)$), то на интервале $(1, 2)$ есть вторая точка пересечения.3. Проверим большие значения $x$. Известно, что показательная функция растет быстрее степенной. Проверим, пересекутся ли они снова. При $x = 16$, имеем $f(16) = 2^{16}$, а $g(16) = 16^4 = (2^4)^4 = 2^{16}$. Таким образом, $x=16$ является точным решением. Это третья точка пересечения.При $x > 16$ функция $y=2^x$ растет значительно быстрее, чем $y=x^4$, поэтому других точек пересечения не будет.Итак, графики функций имеют три точки пересечения.

Ответ: 3 точки пересечения.

3) y = 2^x және y = x²;

Для нахождения точек пересечения решим уравнение $2^x = x^2$. Проанализируем это уравнение графически.1. Рассмотрим положительные значения $x$. Можно заметить, что есть очевидные целочисленные решения: При $x = 2$: $2^2 = 4$ и $2^2 = 4$. Это первая точка пересечения. При $x = 4$: $2^4 = 16$ и $4^2 = 16$. Это вторая точка пересечения. Между $x=2$ и $x=4$ парабола $y=x^2$ находится выше графика $y=2^x$ (например, при $x=3$, $3^2=9 > 2^3=8$). При $x>4$ показательная функция растет быстрее, и пересечений больше не будет.2. Рассмотрим отрицательные значения $x$. При $x = 0$, $2^0 = 1$, а $0^2 = 0$. При $x = -1$, $2^{-1} = 0.5$, а $(-1)^2 = 1$. На отрезке $[-1, 0]$ соотношение функций меняется: $2^0 > 0^2$, но $2^{-1} < (-1)^2$. Так как обе функции непрерывны, на интервале $(-1, 0)$ должна быть точка пересечения. Чтобы убедиться, что она только одна, рассмотрим производную разности функций $h(x) = 2^x - x^2$. $h'(x) = 2^x \ln(2) - 2x$. При $x < 0$ оба слагаемых ($2^x \ln(2)$ и $-2x$) положительны, значит $h'(x) > 0$. Функция $h(x)$ строго возрастает при $x<0$, следовательно, она может пересечь ось абсцисс (т.е. $h(x)=0$) не более одного раза.Таким образом, всего существует три точки пересечения.

Ответ: 3 точки пересечения.

4) y = 2^x және y = -3x²?

Рассмотрим уравнение $2^x = -3x^2$.Функция $y = 2^x$ является показательной функцией. Область её значений — все положительные действительные числа, то есть $y > 0$ для любого $x$.Функция $y = -3x^2$ является квадратичной функцией, её график — парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение этой функции достигается при $x=0$ и равно $y=0$. Для всех остальных $x$, значение $y$ отрицательно. Таким образом, область значений этой функции — $y \le 0$.Левая часть уравнения, $2^x$, всегда строго положительна. Правая часть уравнения, $-3x^2$, всегда неположительна (то есть меньше или равна нулю).Положительное число не может быть равно неположительному числу. Следовательно, уравнение $2^x = -3x^2$ не имеет действительных решений.Это означает, что графики данных функций не пересекаются.

Ответ: 0 точек пересечения.

Нам дана показательная функция $y = (\frac{1}{3})^x$. Требуется определить, какую числовую последовательность образуют значения этой функции, если аргумент $x$ принимает последовательные натуральные значения: 1, 2, 3, 4, ...

Для нахождения членов этой последовательности будем подставлять указанные значения $x$ в уравнение функции:

При $x = 1$, значение функции $y_1 = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$.

При $x = 2$, значение функции $y_2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

При $x = 3$, значение функции $y_3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.

При $x = 4$, значение функции $y_4 = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$.

И так далее. В результате мы получаем числовую последовательность:

$\frac{1}{3}; \frac{1}{9}; \frac{1}{27}; \frac{1}{81}; \dots$

Полученная последовательность является геометрической прогрессией, так как каждый следующий ее член получается из предыдущего умножением на одно и то же число — знаменатель прогрессии. Проверим это:

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, значения функции образуют геометрическую прогрессию, у которой первый член равен $\frac{1}{3}$ и знаменатель также равен $\frac{1}{3}$.

Ответ: Значения показательной функции $y = (\frac{1}{3})^x$ для $x = 1, 2, 3, 4, \dots$ образуют геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = \frac{1}{3}$ и знаменателем $q = \frac{1}{3}$. Сама последовательность выглядит так: $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \dots$

Для построения графиков заданных функций воспользуемся методом элементарных преобразований графиков.

1) $y = 2^{x+3} - 3$

Построение графика этой функции можно выполнить в несколько шагов, начиная с базовой показательной функции $y=2^x$.

1.Базовый график: Строим график функции $y=2^x$. Это стандартная показательная функция, которая возрастает на всей области определения. Она проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(-1, 0.5)$. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.

2.Сдвиг по горизонтали: Преобразуем функцию к виду $y=2^{x+3}$. Согласно правилу $f(x+a)$, график функции $y=2^x$ необходимо сдвинуть на 3 единицы влево вдоль оси Ox. При этом все точки графика смещаются влево на 3. Например, точка $(0, 1)$ переходит в точку $(-3, 1)$. Асимптота $y=0$ остается без изменений.

3.Сдвиг по вертикали: Преобразуем функцию к виду $y=2^{x+3} - 3$. Согласно правилу $f(x)-b$, график функции $y=2^{x+3}$ необходимо сдвинуть на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Все точки графика, включая асимптоту, смещаются вниз на 3. Точка $(-3, 1)$ переходит в точку $(-3, -2)$. Горизонтальная асимптота смещается из $y=0$ в $y=-3$.

Для большей точности найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
  $y = 2^{0+3} - 3 = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5$.
  Точка пересечения: $(0, 5)$.
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
  $0 = 2^{x+3} - 3 \implies 2^{x+3} = 3 \implies x+3 = \log_2{3} \implies x = \log_2{3} - 3 \approx 1.585 - 3 \approx -1.415$.
  Точка пересечения: $(\log_2{3} - 3, 0)$.

Ответ: Ниже представлен график функции $y = 2^{x+3} - 3$, построенный на основе указанных преобразований.

2) $y = 2 - 3^{x-1}$

Для удобства преобразуем функцию к виду $y = -3^{x-1} + 2$. Построение также выполним по шагам, начав с базовой функции $y=3^x$.

1.Базовый график: Строим график функции $y=3^x$. Это возрастающая показательная функция, проходящая через точки $(0, 1)$, $(1, 3)$ и $(-1, 1/3)$. Горизонтальная асимптота - $y=0$.

2.Сдвиг по горизонтали: Преобразуем функцию к виду $y=3^{x-1}$. График $y=3^x$ сдвигается на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Точка $(0, 1)$ переходит в $(1, 1)$. Асимптота $y=0$ не меняется.

3.Отражение: Преобразуем функцию к виду $y=-3^{x-1}$. График $y=3^{x-1}$ симметрично отражается относительно оси Ox. Все положительные значения y становятся отрицательными. Точка $(1, 1)$ переходит в $(1, -1)$. График теперь убывающий, расположен под осью Ox. Асимптота $y=0$ остается на месте.

4.Сдвиг по вертикали: Преобразуем функцию к конечному виду $y=-3^{x-1} + 2$. График $y=-3^{x-1}$ сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Точка $(1, -1)$ переходит в $(1, 1)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также сдвигается на 2 вверх и становится $y=2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
  $y = 2 - 3^{0-1} = 2 - 3^{-1} = 2 - 1/3 = 5/3 \approx 1.67$.
  Точка пересечения: $(0, 5/3)$.
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
  $0 = 2 - 3^{x-1} \implies 3^{x-1} = 2 \implies x-1 = \log_3{2} \implies x = \log_3{2} + 1 \approx 0.631 + 1 \approx 1.631$.
  Точка пересечения: $(\log_3{2} + 1, 0)$.

Ответ: Ниже представлен график функции $y = 2 - 3^{x-1}$, построенный на основе указанных преобразований.

Бұл есепте көрсеткіштік функция $y = a^x$-тің қасиеттерін және оның негізі $a$ мен дәреже көрсеткіші $x$-ке тәуелділігін қарастырамыз. $a^x$ мәнін 1-мен салыстыру үшін, $x$-тің таңбасын (оң, теріс немесе нөл) ескеру қажет. Кез келген $a \gt 0$ үшін $a^0 = 1$ екені белгілі, бұл біздің салыстыруымыздың негізгі нүктесі болады.

1) Егер $a > 1$ болса

Бұл жағдайда $y = a^x$ көрсеткіштік функциясы өспелі болады. Бұл дегеніміз, аргументтің ($x$) үлкен мәніне функцияның ($a^x$) үлкен мәні сәйкес келеді. Функцияның графигі $(0, 1)$ нүктесі арқылы өтеді және $x$ өскен сайын жоғары қарай бағытталады.

Осыған сүйене отырып, $x$-тің үш түрлі жағдайын қарастырамыз:
- Егер $x > 0$ болса, онда функцияның өспелі екенін ескеріп, $a^x > a^0$ деп жазамыз. $a^0 = 1$ болғандықтан, бұдан $a^x > 1$ шығады.
- Егер $x = 0$ болса, онда анықтама бойынша $a^x = a^0 = 1$.
- Егер $x < 0$ болса, онда функцияның өспелілігіне байланысты $a^x < a^0$ болады. Демек, $a^x < 1$. Сонымен қатар, көрсеткіштік функцияның мәні әрқашан оң болғандықтан, $0 < a^x < 1$ теңсіздігі орындалады.

Ответ: Егер $a > 1$ болса, онда: $x > 0$ үшін $a^x > 1$; $x = 0$ үшін $a^x = 1$; $x < 0$ үшін $0 < a^x < 1$.

2) Егер $0 < a < 1$ болса

Бұл жағдайда $y = a^x$ көрсеткіштік функциясы кемімелі болады. Яғни, аргументтің ($x$) үлкен мәніне функцияның ($a^x$) кіші мәні сәйкес келеді. Бұл функцияның графигі де $(0, 1)$ нүктесі арқылы өтеді, бірақ $x$ өскен сайын төмен қарай бағытталады.

$x$-тің мәндерін талдайық:
- Егер $x > 0$ болса, онда функцияның кемімелі екенін ескеріп, теңсіздік таңбасы кері өзгереді: $a^x < a^0$. $a^0 = 1$ болғандықтан, бұдан $a^x < 1$ шығады. Сондай-ақ, $a^x > 0$, яғни $0 < a^x < 1$.
- Егер $x = 0$ болса, онда, алдыңғы жағдайдағыдай, $a^x = a^0 = 1$.
- Егер $x < 0$ болса, онда функцияның кемімелілігіне байланысты $a^x > a^0$ болады. Демек, $a^x > 1$.

Ответ: Егер $0 < a < 1$ болса, онда: $x > 0$ үшін $0 < a^x < 1$; $x = 0$ үшін $a^x = 1$; $x < 0$ үшін $a^x > 1$.

Для того чтобы построить график функции $y = (\frac{1}{a})^x$, используя график функции $y = a^x$, необходимо проанализировать связь между этими двумя функциями.

Сначала преобразуем выражение для второй функции, используя свойство степеней $\frac{1}{a} = a^{-1}$. Получаем следующее равенство:

$y = \left(\frac{1}{a}\right)^x = (a^{-1})^x = a^{-x}$

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = a^{-x}$, зная график функции $y = a^x$.

Если обозначить исходную функцию как $f(x) = a^x$, то вторая функция будет иметь вид $g(x) = a^{-x} = f(-x)$.

Геометрическое преобразование графика функции $y=f(x)$ в график функции $y=f(-x)$ заключается в симметричном отражении относительно оси ординат (оси Oy). Это означает, что каждой точке с координатами $(x_0, y_0)$ на графике $y=a^x$ соответствует точка с координатами $(-x_0, y_0)$ на графике $y=a^{-x}$.

Следовательно, чтобы построить график функции $y = (\frac{1}{a})^x$, нужно взять график функции $y = a^x$ и симметрично отразить его относительно оси Oy. Например, обе функции проходят через точку $(0, 1)$, так как $a^0=1$ и $(\frac{1}{a})^0=1$. Эта точка лежит на оси симметрии и остается неподвижной. Если точка $(c, a^c)$ находится на графике $y=a^x$, то точка $(-c, a^c)$ будет находиться на графике $y=(\frac{1}{a})^x$.

На рисунке ниже показан пример для случая $a > 1$. График $y = a^x$ (синяя линия) является возрастающей функцией, в то время как график $y = (\frac{1}{a})^x$ (красная линия) является убывающей функцией и представляет собой зеркальное отражение первого графика относительно оси y.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{a})^x$ можно получить путем симметричного отражения графика функции $y = a^x$ относительно оси ординат (оси Oy).