Страница 97 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения наибольшего (ең үлкен) и наименьшего (ең кіші) значений функции $y = x^{\frac{5}{2}}$ на отрезке $[1; 4]$, необходимо исследовать поведение функции на данном отрезке. Алгоритм решения включает в себя нахождение производной, определение критических точек и вычисление значений функции в этих точках и на концах отрезка.

1.Нахождение производной.
Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{\frac{5}{2}})' = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$

2.Нахождение критических точек.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$y' = 0 \implies \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = 0 \implies x = 0$.Критическая точка $x=0$ не принадлежит заданному отрезку $[1; 4]$. Производная $y' = \frac{5}{2}\sqrt{x^3}$ определена для всех $x \ge 0$, поэтому других критических точек, где производная не существует, на данном отрезке нет.

3.Анализ монотонности и вычисление значений на концах отрезка.
Поскольку на интервале $(1; 4)$ нет критических точек, функция на этом интервале является монотонной. Определим знак производной на этом интервале. Для любого $x$ из отрезка $[1; 4]$ значение $x$ положительно, следовательно, производная $y' = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$ также всегда будет положительной.Это означает, что функция $y(x)$ является строго возрастающей на отрезке $[1; 4]$.

Для возрастающей функции наименьшее значение достигается в начале отрезка, а наибольшее — в его конце. Вычислим значения функции в точках $x=1$ и $x=4$:

Наименьшее значение (ең кіші мәні) при $x=1$:

$y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$

Наибольшее значение (ең үлкен мәні) при $x=4$:

$y(4) = 4^{\frac{5}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^5 = (\sqrt{4})^5 = 2^5 = 32$

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[1; 4]$ равно 32, а наименьшее значение равно 1.

Ответ: 32; 1.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^4}$, $x = 1$, $x = 3$ и $y = 0$ (осью абсцисс), необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура представляет собой криволинейную трапецию.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае, $f(x) = \frac{1}{x^4}$, нижний предел интегрирования $a = 1$, а верхний предел $b = 3$.

Подставим наши значения в формулу и вычислим интеграл:

$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x^4} \,dx = \int_{1}^{3} x^{-4} \,dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^{-4}$. Используем формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{-4} \,dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования:

$S = \left. -\frac{1}{3x^3} \right|_{1}^{3} = \left(-\frac{1}{3 \cdot 3^3}\right) - \left(-\frac{1}{3 \cdot 1^3}\right)$

Выполним вычисления:

$S = \left(-\frac{1}{3 \cdot 27}\right) - \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{81} + \frac{1}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю (81):

$S = -\frac{1}{81} + \frac{1 \cdot 27}{3 \cdot 27} = -\frac{1}{81} + \frac{27}{81} = \frac{27 - 1}{81} = \frac{26}{81}$

Таким образом, площадь искомой фигуры равна $\frac{26}{81}$. Это соответствует варианту B.

Ответ: $\frac{26}{81}$

19. Требуется вычислить определенный интеграл:$I = \int_{0}^{64} \left(\frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\right) dx$

Для вычисления воспользуемся свойством линейности интеграла и формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции. Используем табличный интеграл для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int \left(\frac{3}{4}x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\right) dx = \frac{3}{4}\int x^{\frac{1}{3}} dx + \frac{3}{2}\int x^{\frac{1}{2}} dx$

$F(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}$

$F(x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}} = \frac{9}{16}x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}}$

Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:

$I = \left[ \frac{9}{16}x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{64} = \left(\frac{9}{16}(64)^{\frac{4}{3}} + (64)^{\frac{3}{2}}\right) - \left(\frac{9}{16}(0)^{\frac{4}{3}} + (0)^{\frac{3}{2}}\right)$

Вычислим значение выражения при верхнем пределе $x=64$:

$(64)^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{64})^4 = 4^4 = 256$

$(64)^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{64})^3 = 8^3 = 512$

$\frac{9}{16}(256) + 512 = 9 \cdot \frac{256}{16} + 512 = 9 \cdot 16 + 512 = 144 + 512 = 656$

Значение выражения при нижнем пределе $x=0$ равно 0.

Следовательно, значение интеграла равно:

$I = 656 - 0 = 656$

Данное значение соответствует варианту ответа C.

Ответ: 656

$y = f(x)$ функциясының графигімен, $x=a$, $x=b$ түзулерімен және Ox осімен шектелген қисықсызықты трапецияны Ox осінің айналасында айналдырғанда пайда болатын дененің көлемі келесі формуламен есептеледі:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

Есептің шарты бойынша берілгендер:

Функция: $f(x) = y = \frac{3}{\sqrt{10}}x^{\frac{1}{3}}$

Интегралдау шектері: $a = 0$ және $b = 1$.

Алдымен, функцияның квадратын табамыз:

$[f(x)]^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}x^{\frac{1}{3}}\right)^2 = \frac{3^2}{(\sqrt{10})^2} \cdot \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^2 = \frac{9}{10} x^{\frac{2}{3}}$

Енді бұл өрнекті көлем формуласына қойып, анықталған интегралды есептейміз:

$V = \pi \int_{0}^{1} \frac{9}{10} x^{\frac{2}{3}} dx$

Тұрақты көбейткішті интеграл белгісінің алдына шығарамыз:

$V = \frac{9\pi}{10} \int_{0}^{1} x^{\frac{2}{3}} dx$

Дәрежелік функция үшін интегралдау ережесін $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ қолданып, алғашқы функцияны табамыз:

$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}$

Енді Ньютон-Лейбниц формуласын қолданамыз:

$V = \frac{9\pi}{10} \left[ \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} \right]_{0}^{1} = \frac{9\pi}{10} \left( \left(\frac{3}{5} \cdot 1^{\frac{5}{3}}\right) - \left(\frac{3}{5} \cdot 0^{\frac{5}{3}}\right) \right)$

$V = \frac{9\pi}{10} \left( \frac{3}{5} - 0 \right) = \frac{9\pi}{10} \cdot \frac{3}{5} = \frac{27\pi}{50}$

Жауабы: $\frac{27}{50}\pi$.