Страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Найдём площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = -x^2 + 2x$ и $y = -3$.

Сначала найдём точки пересечения графиков функций, для этого приравняем их уравнения:

$-x^2 + 2x = -3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Используя теорему Виета или решив через дискриминант, находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Эти значения являются пределами интегрирования: от $a = -1$ до $b = 3$.

В интервале $[-1, 3]$ парабола $y = -x^2 + 2x$ находится выше прямой $y = -3$ (например, при $x=0$, $y=0$, что больше чем $-3$).

Фигура, площадь которой нужно найти, изображена на графике:

Площадь $S$ фигуры вычисляется с помощью определённого интеграла по формуле $S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x)$ - верхняя функция, а $g(x)$ - нижняя.

$S = \int_{-1}^{3} ((-x^2 + 2x) - (-3)) dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$\int (-x^2 + 2x + 3) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x\right]_{-1}^{3} = \left(-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1)\right)$

$S = \left(-\frac{27}{3} + 9 + 9\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) = (-9 + 18) - \left(\frac{1}{3} - 2\right) = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $S = \frac{32}{3}$

2)

Найдём площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = \sqrt{x}$, $y = 2$ и $x = 9$.

Определим точки пересечения линий, ограничивающих фигуру:

1. $y = \sqrt{x}$ и $y = 2$ пересекаются при $\sqrt{x} = 2$, то есть $x = 4$. Точка пересечения: $(4, 2)$.

2. $y = \sqrt{x}$ и $x = 9$ пересекаются при $y = \sqrt{9} = 3$. Точка пересечения: $(9, 3)$.

3. Прямые $y = 2$ и $x = 9$ пересекаются в точке $(9, 2)$.

Фигура расположена в интервале от $x=4$ до $x=9$. В этом интервале график функции $y=\sqrt{x}$ лежит выше прямой $y=2$. Графическое представление фигуры:

Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) dx$

Находим первообразную:

$\int (\sqrt{x} - 2) dx = \int (x^{1/2} - 2) dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2x = \frac{2}{3}x^{3/2} - 2x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - 2x\right]_{4}^{9} = \left(\frac{2}{3}(9)^{3/2} - 2 \cdot 9\right) - \left(\frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2 \cdot 4\right)$

$S = \left(\frac{2}{3}(3^3) - 18\right) - \left(\frac{2}{3}(2^3) - 8\right) = \left(\frac{2}{3} \cdot 27 - 18\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 8 - 8\right)$

$S = (18 - 18) - \left(\frac{16}{3} - \frac{24}{3}\right) = 0 - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}$

Ответ: $S = \frac{8}{3}$

1) Для функции $y = \sqrt{x\sqrt{x}}$ сначала упростим выражение, представив его в виде степени $x$.
Внутренний корень: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
Выражение под внешним корнем: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.
Вся функция: $y = \sqrt{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/2} = x^{(3/2) \cdot (1/2)} = x^{3/4}$.
Теперь найдем производную, используя правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^{3/4})' = \frac{3}{4}x^{3/4 - 1} = \frac{3}{4}x^{-1/4}$.
Производную также можно записать в виде $y' = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{4}x^{-1/4}$.

2) Для функции $y = \frac{1}{x\sqrt[3]{2x}}$ также сначала упростим выражение.
Знаменатель: $x\sqrt[3]{2x} = x \cdot (2x)^{1/3} = x \cdot 2^{1/3} \cdot x^{1/3} = 2^{1/3} \cdot x^{1 + 1/3} = 2^{1/3}x^{4/3}$.
Тогда функция имеет вид: $y = \frac{1}{2^{1/3}x^{4/3}} = 2^{-1/3}x^{-4/3}$.
Теперь найдем производную по правилу дифференцирования степенной функции:
$y' = (2^{-1/3}x^{-4/3})' = 2^{-1/3} \cdot (x^{-4/3})' = 2^{-1/3} \cdot (-\frac{4}{3})x^{-4/3 - 1} = -\frac{4}{3}2^{-1/3}x^{-7/3}$.

Ответ: $y' = -\frac{4}{3}2^{-1/3}x^{-7/3}$.

3) Для функции $y = \frac{1 + 2x - x^4}{x\sqrt{x}}$ преобразуем ее, разделив числитель на знаменатель.
Сначала упростим знаменатель: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.
Теперь разделим каждый член числителя на знаменатель:
$y = \frac{1}{x^{3/2}} + \frac{2x}{x^{3/2}} - \frac{x^4}{x^{3/2}} = x^{-3/2} + 2x^{1 - 3/2} - x^{4 - 3/2} = x^{-3/2} + 2x^{-1/2} - x^{5/2}$.
Теперь дифференцируем получившуюся сумму степенных функций:
$y' = (x^{-3/2})' + (2x^{-1/2})' - (x^{5/2})' = -\frac{3}{2}x^{-3/2 - 1} + 2 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1} - \frac{5}{2}x^{5/2 - 1}$
$y' = -\frac{3}{2}x^{-5/2} - x^{-3/2} - \frac{5}{2}x^{3/2}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{2}x^{-5/2} - x^{-3/2} - \frac{5}{2}x^{3/2}$.

4) Функция $y = x^{-\sqrt{7}}$ является степенной функцией вида $y = x^n$, где показатель степени $n = -\sqrt{7}$ является постоянным числом.
Применяем стандартное правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = (x^{-\sqrt{7}})' = -\sqrt{7} \cdot x^{-\sqrt{7} - 1}$.

Ответ: $y' = -\sqrt{7}x^{-\sqrt{7}-1}$.

Берілген функцияға $x_0$ нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуінің жалпы формуласы: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Есептің шарты бойынша, жанасу нүктесінің абсциссасы $x_0 = 32$ және функция $f(x) = x^{\frac{3}{5}} + 2x^2$ түрінде берілген.

Теңдеуді құру үшін келесі қадамдарды орындаймыз:

1. $f(x_0)$ мәнін есептеу.

$x_0 = 32$ мәнін функцияның өрнегіне қоямыз:

$f(32) = 32^{\frac{3}{5}} + 2 \cdot (32)^2$

$32 = 2^5$ екенін ескеріп, бірінші қосылғышты есептейміз:

$32^{\frac{3}{5}} = (2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^3 = 8$

Екінші қосылғышты есептейміз:

$2 \cdot (32)^2 = 2 \cdot 1024 = 2048$

Енді $f(32)$ мәнін табамыз:

$f(32) = 8 + 2048 = 2056$

Демек, жанасу нүктесінің координаталары $(32, 2056)$.

2. Функцияның туындысын $f'(x)$ табу.

Дәрежелік функцияның туындысын табу ережесін $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ қолданамыз:

$f'(x) = (x^{\frac{3}{5}} + 2x^2)' = (x^{\frac{3}{5}})' + (2x^2)' = \frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} = \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}} + 4x$

3. Жанаманың бұрыштық коэффициентін $k = f'(x_0)$ есептеу.

$x_0 = 32$ мәнін туындының өрнегіне қоямыз:

$f'(32) = \frac{3}{5}(32)^{-\frac{2}{5}} + 4 \cdot 32$

$32^{-\frac{2}{5}}$ мәнін есептейік:

$32^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{(2^5)^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Енді $f'(32)$ мәнін толық есептейміз:

$f'(32) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} + 128 = \frac{3}{20} + 128 = \frac{3}{20} + \frac{128 \cdot 20}{20} = \frac{3 + 2560}{20} = \frac{2563}{20}$

Жанаманың бұрыштық коэффициенті $k = \frac{2563}{20}$.

4. Жанаманың теңдеуін жазу.

Табылған мәндерді ($x_0 = 32$, $f(x_0) = 2056$, $f'(x_0) = \frac{2563}{20}$) жанама теңдеуінің жалпы формуласына қоямыз:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

$y - 2056 = \frac{2563}{20}(x - 32)$

Теңдеуді $y = kx + b$ түріне келтіру үшін жақшаны ашып, бос мүшені оң жаққа шығарамыз:

$y = \frac{2563}{20}x - \frac{2563}{20} \cdot 32 + 2056$

$y = \frac{2563}{20}x - \frac{2563 \cdot 8}{5} + 2056$

$y = \frac{2563}{20}x - \frac{20504}{5} + \frac{2056 \cdot 5}{5}$

$y = \frac{2563}{20}x - \frac{20504}{5} + \frac{10280}{5}$

$y = \frac{2563}{20}x - \frac{10224}{5}$

Жауап: $y = \frac{2563}{20}x - \frac{10224}{5}$

1)

Дана функция: $f(x) = \sqrt[3]{2x\sqrt{3x}} + \pi$.

Сначала упростим выражение для функции. Используем свойства степеней:

$\sqrt{3x} = (3x)^{1/2} = 3^{1/2}x^{1/2}$.

$2x\sqrt{3x} = 2x \cdot 3^{1/2}x^{1/2} = 2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{1+1/2} = 2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{3/2}$.

Теперь подставим это в кубический корень:

$\sqrt[3]{2x\sqrt{3x}} = \sqrt[3]{2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{3/2}} = (2 \cdot 3^{1/2} \cdot x^{3/2})^{1/3} = (2 \cdot 3^{1/2})^{1/3} \cdot (x^{3/2})^{1/3} = 2^{1/3} \cdot 3^{(1/2) \cdot (1/3)} \cdot x^{(3/2) \cdot (1/3)} = 2^{1/3} \cdot 3^{1/6} \cdot x^{1/2}$.

Упростим константу: $2^{1/3} \cdot 3^{1/6} = (2^2)^{1/6} \cdot 3^{1/6} = 4^{1/6} \cdot 3^{1/6} = (4 \cdot 3)^{1/6} = 12^{1/6} = \sqrt[6]{12}$.

Таким образом, упрощенная функция имеет вид: $f(x) = \sqrt[6]{12}x^{1/2} + \pi$.

Теперь найдем общий вид первообразной для этой функции, то есть вычислим ее неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (\sqrt[6]{12}x^{1/2} + \pi) dx = \int \sqrt[6]{12}x^{1/2} dx + \int \pi dx$.

Применяем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int \sqrt[6]{12}x^{1/2} dx = \sqrt[6]{12} \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \sqrt[6]{12} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2\sqrt[6]{12}}{3}x^{3/2}$.

Интеграл от константы: $\int \pi dx = \pi x$.

Общий вид первообразной равен сумме полученных выражений и произвольной постоянной $C$:

$F(x) = \frac{2\sqrt[6]{12}}{3}x^{3/2} + \pi x + C$.

Выражение $x^{3/2}$ можно также записать как $x\sqrt{x}$:

$F(x) = \frac{2\sqrt[6]{12}}{3}x\sqrt{x} + \pi x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2\sqrt[6]{12}}{3}x\sqrt{x} + \pi x + C$.

2)

Дана функция: $f(x) = \frac{3x^2 - x + 1}{\sqrt{x}} - \sqrt{2}$.

Сначала упростим функцию, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$f(x) = \frac{3x^2}{\sqrt{x}} - \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{2}$.

Учитывая, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$, преобразуем степени:

$f(x) = 3x^{2-1/2} - x^{1-1/2} + x^{-1/2} - \sqrt{2} = 3x^{3/2} - x^{1/2} + x^{-1/2} - \sqrt{2}$.

Теперь найдем общий вид первообразной для этой функции:

$F(x) = \int (3x^{3/2} - x^{1/2} + x^{-1/2} - \sqrt{2}) dx$.

Вычислим интеграл почленно:

$F(x) = \int 3x^{3/2} dx - \int x^{1/2} dx + \int x^{-1/2} dx - \int \sqrt{2} dx$.

Применяем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int 3x^{3/2} dx = 3 \cdot \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} = 3 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{6}{5}x^{5/2}$.

$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

$\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2}$.

$\int \sqrt{2} dx = \sqrt{2}x$.

Объединяем все результаты и добавляем произвольную постоянную $C$:

$F(x) = \frac{6}{5}x^{5/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} - \sqrt{2}x + C$.

Для более наглядного представления, запишем результат с использованием корней:

$x^{5/2} = x^2\sqrt{x}$, $x^{3/2} = x\sqrt{x}$, $x^{1/2} = \sqrt{x}$.

$F(x) = \frac{6}{5}x^2\sqrt{x} - \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - \sqrt{2}x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{6}{5}x^2\sqrt{x} - \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - \sqrt{2}x + C$.

1) Для вычисления интеграла $\int \frac{dx}{7\cos^2(3-x)}$ вынесем постоянный множитель $\frac{1}{7}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{7} \int \frac{dx}{\cos^2(3-x)}$

Теперь применим метод замены переменной. Пусть $u = 3-x$.

Найдем дифференциал: $du = d(3-x) = (3-x)'dx = -dx$, откуда следует, что $dx = -du$.

Подставим новую переменную в интеграл:

$\frac{1}{7} \int \frac{-du}{\cos^2 u} = -\frac{1}{7} \int \frac{du}{\cos^2 u}$

Полученный интеграл является табличным: $\int \frac{du}{\cos^2 u} = \tan u + C$.

Следовательно, получаем:

$-\frac{1}{7} \tan u + C$

Выполним обратную замену, подставив $u = 3-x$:

$-\frac{1}{7} \tan(3-x) + C$

Так как тангенс является нечетной функцией, то есть $\tan(-a) = -\tan(a)$, то $\tan(3-x) = \tan(-(x-3)) = -\tan(x-3)$. Поэтому решение можно также записать в виде $\frac{1}{7} \tan(x-3) + C$. Оба варианта ответа являются верными.

Ответ: $-\frac{1}{7} \tan(3-x) + C$.

2) Для вычисления интеграла $\int \frac{\cos^2 x}{1 - \sin x} dx$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Из этого тождества выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в числитель подынтегральной функции:

$\int \frac{1 - \sin^2 x}{1 - \sin x} dx$

Числитель $1 - \sin^2 x$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители: $1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$.

$\int \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 - \sin x} dx$

Сократим дробь на общий множитель $(1 - \sin x)$ (при условии, что $1 - \sin x \neq 0$):

$\int (1 + \sin x) dx$

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

$\int 1 dx + \int \sin x dx$

Это табличные интегралы:

$\int 1 dx = x$

$\int \sin x dx = -\cos x$

Собрав все вместе и добавив константу интегрирования $C$, получаем окончательный результат:

$x - \cos x + C$

Ответ: $x - \cos x + C$.

Берілген функция: $f(x) = \sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x}$.

Алдымен, функцияны дәрежелік түрде жазайық:

$f(x) = x^{1/2} + 2x^{1/3}$

Енді осы функцияның жалпы алғашқы функциясын табамыз. Ол үшін интегралдаудың $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ формуласын қолданамыз:

$F(x) = \int (x^{1/2} + 2x^{1/3}) dx = \int x^{1/2} dx + \int 2x^{1/3} dx$

$F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + 2 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} + C$

$F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} + 2 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} + C$

Өрнекті ықшамдаймыз:

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2 \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} + C$

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} + C$

Бұл $f(x)$ функциясының жалпы алғашқы функциясы. Есептің шарты бойынша, алғашқы функцияның графигі $M(1; 1,5)$ нүктесінен өтеді. Бұл дегеніміз, $x=1$ болғанда, $F(1) = 1,5$. Осы шартты пайдаланып, $C$ тұрақтысын табамыз:

$1,5 = \frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{3}{2}(1)^{4/3} + C$

Кез келген 1-дің дәрежесі 1-ге тең болғандықтан:

$1,5 = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1 + C$

$1,5 = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C$

Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз:

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6}$

Сонда теңдеу мына түрге келеді ($1,5 = 3/2$):

$\frac{3}{2} = \frac{13}{6} + C$

$C$ мәнін табамыз:

$C = \frac{3}{2} - \frac{13}{6} = \frac{9}{6} - \frac{13}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

$C$ тұрақтысының мәнін жалпы алғашқы функцияның формуласына қоямыз:

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} - \frac{2}{3}$

Өрнекті түбірлер арқылы да жазуға болады:

$F(x) = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^4} - \frac{2}{3}$ немесе $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{3}{2}x\sqrt[3]{x} - \frac{2}{3}$

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} - \frac{2}{3}$

1) Вычислим определенный интеграл $ \int_{1}^{8} \frac{5 \, dx}{2x^{\frac{2}{3}}} $.

Сначала вынесем постоянный множитель за знак интеграла и преобразуем подынтегральное выражение, используя свойство степени $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $:
$ \int_{1}^{8} \frac{5}{2x^{\frac{2}{3}}} \, dx = \frac{5}{2} \int_{1}^{8} x^{-\frac{2}{3}} \, dx $.
Далее найдем первообразную для функции $ f(x) = x^{-\frac{2}{3}} $ по формуле $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $:
$ \int x^{-\frac{2}{3}} \, dx = \frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = 3x^{\frac{1}{3}} = 3\sqrt[3]{x} $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) $:
$ \frac{5}{2} \int_{1}^{8} x^{-\frac{2}{3}} \, dx = \frac{5}{2} [3\sqrt[3]{x}]_{1}^{8} = \frac{5}{2} (3\sqrt[3]{8} - 3\sqrt[3]{1}) = \frac{5}{2} (3 \cdot 2 - 3 \cdot 1) = \frac{5}{2} (6 - 3) = \frac{5}{2} \cdot 3 = \frac{15}{2} = 7.5 $.
Ответ: $ 7.5 $.

2) Вычислим определенный интеграл $ \int_{4}^{9} \frac{3}{x^{-\frac{1}{2}}} \, dx $.

Преобразуем подынтегральное выражение, используя свойство степени $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n $:
$ \int_{4}^{9} \frac{3}{x^{-\frac{1}{2}}} \, dx = \int_{4}^{9} 3x^{\frac{1}{2}} \, dx = 3 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} \, dx $.
Найдем первообразную для $ f(x) = x^{\frac{1}{2}} $ по формуле $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $:
$ \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ 3 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} \, dx = 3 \cdot [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9} = [2x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9} = 2(9^{\frac{3}{2}} - 4^{\frac{3}{2}}) $.
Вычислим значения: $ 9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27 $ и $ 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8 $.
$ 2(27 - 8) = 2 \cdot 19 = 38 $.
Ответ: $ 38 $.

3) Вычислим определенный интеграл $ \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt[4]{2x - 1} \, dx $.

Запишем интеграл в виде $ \int_{\frac{1}{2}}^{1} (2x - 1)^{\frac{1}{4}} \, dx $.
Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть $ u = 2x - 1 $.
Тогда дифференциал $ du = (2x - 1)' dx = 2 \, dx $, откуда $ dx = \frac{1}{2} du $.
Найдем новые пределы интегрирования:
Если $ x = \frac{1}{2} $, то $ u = 2(\frac{1}{2}) - 1 = 1 - 1 = 0 $.
Если $ x = 1 $, то $ u = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 $.
Подставим новую переменную и новые пределы в интеграл:
$ \int_{\frac{1}{2}}^{1} (2x - 1)^{\frac{1}{4}} \, dx = \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{4}} \, du $.
Найдем первообразную для $ u^{\frac{1}{4}} $:
$ \int u^{\frac{1}{4}} \, du = \frac{u^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} = \frac{u^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}u^{\frac{5}{4}} $.
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \frac{1}{2} [\frac{4}{5}u^{\frac{5}{4}}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \left(\frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} \cdot 0^{\frac{5}{4}}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{4}{5} - 0\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.
Ответ: $ \frac{2}{5} $.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми $y = x^2$, $y = 0$, $x = 5$ и $y = \frac{1}{x^2}$ (при $x \ge 0$), сначала необходимо проанализировать расположение этих кривых. Фигура представляет собой область, заключенную между кривыми $y=x^2$ и $y=\frac{1}{x^2}$ и ограниченную справа прямой $x=5$. Левая граница области определяется точкой пересечения данных кривых.

Найдем точку пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = \frac{1}{x^2}$:

$x^2 = \frac{1}{x^2}$

$x^4 = 1$

Так как по условию $x \ge 0$, то решением является $x=1$.

Таким образом, область интегрирования находится в пределах от $x=1$ до $x=5$.

Теперь определим, какая из функций является верхней, а какая нижней границей на интервале $[1, 5]$. Для этого возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=2$:

Для $y=x^2$: $y(2) = 2^2 = 4$.

Для $y=\frac{1}{x^2}$: $y(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Поскольку $4 > \frac{1}{4}$, на всем интервале $[1, 5]$ кривая $y=x^2$ расположена выше кривой $y=\frac{1}{x^2}$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{1}^{5} \left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right) dx$

Вычислим этот определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{5} (x^2 - x^{-2}) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{5} = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} \right]_{1}^{5}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left(\frac{5^3}{3} + \frac{1}{5}\right) - \left(\frac{1^3}{3} + \frac{1}{1}\right) = \left(\frac{125}{3} + \frac{1}{5}\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right)$

$S = \frac{125}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - 1 = \frac{124}{3} + \frac{1}{5} - \frac{5}{5} = \frac{124}{3} - \frac{4}{5}$

$S = \frac{124 \cdot 5 - 4 \cdot 3}{15} = \frac{620 - 12}{15} = \frac{608}{15}$

Ниже приведена графическая иллюстрация искомой области.

Ответ: $S = \frac{608}{15}$

2)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = x^3$, $y = \sqrt[3]{x}$ и вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 0$.

Область интегрирования задана отрезком $[-1, 0]$. Нам нужно определить, какая из функций больше на этом интервале, чтобы правильно составить интеграл.

Возьмем пробную точку из интервала $(-1, 0)$, например, $x = -1/2$:

Для $y = x^3$: $y(-1/2) = (-1/2)^3 = -1/8$.

Для $y = \sqrt[3]{x}$: $y(-1/2) = \sqrt[3]{-1/2} = -1/\sqrt[3]{2}$.

Сравним числа $-1/8$ и $-1/\sqrt[3]{2}$. Так как $2 < 8$, то $\sqrt[3]{2} < \sqrt[3]{8}=2$. Следовательно, $1/\sqrt[3]{2} > 1/2$. Тогда $-1/\sqrt[3]{2} < -1/2$. Очевидно, что $-1/8 > -1/2$. Значит, на интервале $(-1, 0)$ выполняется неравенство $x^3 > \sqrt[3]{x}$.

Таким образом, кривая $y=x^3$ является верхней границей, а $y=\sqrt[3]{x}$ — нижней.

Площадь фигуры $S$ равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{0} (x^3 - \sqrt[3]{x}) dx = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^{1/3}) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} \right]_{-1}^{0} = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^{4/3}}{4/3} \right]_{-1}^{0} = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3}{4}x^{4/3} \right]_{-1}^{0}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left(\frac{0^4}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4/3}\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4} - \frac{3}{4}(-1)^{4/3}\right)$

Учтем, что $(-1)^{4/3} = (\sqrt[3]{-1})^4 = (-1)^4 = 1$.

$S = 0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1\right) = - \left(\frac{1 - 3}{4}\right) = - \left(-\frac{2}{4}\right) = \frac{1}{2}$

Ниже приведена графическая иллюстрация искомой области.

Ответ: $S = \frac{1}{2}$

Шешуі:

Берілген есепте $y = \frac{1}{x^2}$ функциясының графигімен, $x = 1$, $x = 2$ және $y = 0$ (Ox осі) түзулерімен шектелген фигураның ауданын табу керек. Бұл фигура қисықсызықты трапеция болып табылады.

1. Алдымен, осы фигураның толық ауданын $S$ анықталған интеграл арқылы есептейміз:

$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$

Интегралды есептеу үшін $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ функциясының алғашқы функциясын табамыз. Алғашқы функция $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Енді Ньютон-Лейбниц формуласын қолданып, ауданды табамыз:

$S = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{2} = F(2) - F(1) = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Сонымен, фигураның жалпы ауданы $S = \frac{1}{2}$-ге тең.

2. Есептің шарты бойынша $x = a$ түзуі ($a \in (1; 2)$) бұл ауданды тең екіге бөледі. Бұл дегеніміз, $x=1$-ден $x=a$-ға дейінгі аудан ($S_1$) жалпы ауданның жартысына тең болуы керек:

$S_1 = \frac{S}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.

$S_1$ ауданын да интеграл арқылы өрнектейік:

$S_1 = \int_{1}^{a} \frac{1}{x^2} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{a} = \left(-\frac{1}{a}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = 1 - \frac{1}{a}$.

3. Енді $S_1$ үшін алынған екі өрнекті теңестіріп, $a$-ның мәнін табамыз:

$1 - \frac{1}{a} = \frac{1}{4}$

Теңдеуді шешеміз:

$\frac{1}{a} = 1 - \frac{1}{4}$

$\frac{1}{a} = \frac{3}{4}$

$a = \frac{4}{3}$

Табылған $a = \frac{4}{3}$ мәні $a \in (1; 2)$ шартын қанағаттандырады, себебі $1 < \frac{4}{3} < 2$ (шамамен $1 < 1.33 < 2$).

Жауабы: $a = \frac{4}{3}$.