Номер 172, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген функцияға $x_0$ нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуінің жалпы формуласы: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Есептің шарты бойынша, жанасу нүктесінің абсциссасы $x_0 = 32$ және функция $f(x) = x^{\frac{3}{5}} + 2x^2$ түрінде берілген.

Теңдеуді құру үшін келесі қадамдарды орындаймыз:

1. $f(x_0)$ мәнін есептеу.

$x_0 = 32$ мәнін функцияның өрнегіне қоямыз:

$f(32) = 32^{\frac{3}{5}} + 2 \cdot (32)^2$

$32 = 2^5$ екенін ескеріп, бірінші қосылғышты есептейміз:

$32^{\frac{3}{5}} = (2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^3 = 8$

Екінші қосылғышты есептейміз:

$2 \cdot (32)^2 = 2 \cdot 1024 = 2048$

Енді $f(32)$ мәнін табамыз:

$f(32) = 8 + 2048 = 2056$

Демек, жанасу нүктесінің координаталары $(32, 2056)$.

2. Функцияның туындысын $f'(x)$ табу.

Дәрежелік функцияның туындысын табу ережесін $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ қолданамыз:

$f'(x) = (x^{\frac{3}{5}} + 2x^2)' = (x^{\frac{3}{5}})' + (2x^2)' = \frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} = \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}} + 4x$

3. Жанаманың бұрыштық коэффициентін $k = f'(x_0)$ есептеу.

$x_0 = 32$ мәнін туындының өрнегіне қоямыз:

$f'(32) = \frac{3}{5}(32)^{-\frac{2}{5}} + 4 \cdot 32$

$32^{-\frac{2}{5}}$ мәнін есептейік:

$32^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{(2^5)^{\frac{2}{5}}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Енді $f'(32)$ мәнін толық есептейміз:

$f'(32) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} + 128 = \frac{3}{20} + 128 = \frac{3}{20} + \frac{128 \cdot 20}{20} = \frac{3 + 2560}{20} = \frac{2563}{20}$

Жанаманың бұрыштық коэффициенті $k = \frac{2563}{20}$.

4. Жанаманың теңдеуін жазу.

Табылған мәндерді ($x_0 = 32$, $f(x_0) = 2056$, $f'(x_0) = \frac{2563}{20}$) жанама теңдеуінің жалпы формуласына қоямыз:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

$y - 2056 = \frac{2563}{20}(x - 32)$

Теңдеуді $y = kx + b$ түріне келтіру үшін жақшаны ашып, бос мүшені оң жаққа шығарамыз:

$y = \frac{2563}{20}x - \frac{2563}{20} \cdot 32 + 2056$

$y = \frac{2563}{20}x - \frac{2563 \cdot 8}{5} + 2056$

$y = \frac{2563}{20}x - \frac{20504}{5} + \frac{2056 \cdot 5}{5}$

$y = \frac{2563}{20}x - \frac{20504}{5} + \frac{10280}{5}$

$y = \frac{2563}{20}x - \frac{10224}{5}$

Жауап: $y = \frac{2563}{20}x - \frac{10224}{5}$