Номер 1, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{x^3 - 5x^2 + 6x}$ необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным. Это приводит к следующему неравенству:

$x^3 - 5x^2 + 6x \ge 0$

Для решения этого неравенства разложим многочлен в левой части на множители. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 5x + 6) \ge 0$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Таким образом, квадратный трехчлен можно представить в виде произведения:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Подставим это разложение обратно в неравенство:

$x(x - 2)(x - 3) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни левой части уравнения $x(x - 2)(x - 3) = 0$ равны $x=0$, $x=2$ и $x=3$. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения $x(x - 2)(x - 3)$ в каждом интервале:

• При $x \in (3; +\infty)$, например, $x=4$: $4(4-2)(4-3) = 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8 > 0$ (знак "+").
• При $x \in (2; 3)$, например, $x=2.5$: $2.5(2.5-2)(2.5-3) = 2.5 \cdot 0.5 \cdot (-0.5) = -0.625 < 0$ (знак "-").
• При $x \in (0; 2)$, например, $x=1$: $1(1-2)(1-3) = 1 \cdot (-1) \cdot (-2) = 2 > 0$ (знак "+").
• При $x \in (-\infty; 0)$, например, $x=-1$: $(-1)(-1-2)(-1-3) = (-1) \cdot (-3) \cdot (-4) = -24 < 0$ (знак "-").

Графическое представление метода интервалов:

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$), то есть интервалы со знаком "+". Поскольку неравенство нестрогое, точки $x=0$, $x=2$ и $x=3$ также включаются в решение.

Таким образом, область определения функции — это объединение промежутков $[0; 2]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $[0; 2] \cup [3; +\infty)$