Номер 175, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген функция: $f(x) = \sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x}$.

Алдымен, функцияны дәрежелік түрде жазайық:

$f(x) = x^{1/2} + 2x^{1/3}$

Енді осы функцияның жалпы алғашқы функциясын табамыз. Ол үшін интегралдаудың $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ формуласын қолданамыз:

$F(x) = \int (x^{1/2} + 2x^{1/3}) dx = \int x^{1/2} dx + \int 2x^{1/3} dx$

$F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + 2 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} + C$

$F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} + 2 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} + C$

Өрнекті ықшамдаймыз:

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2 \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} + C$

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} + C$

Бұл $f(x)$ функциясының жалпы алғашқы функциясы. Есептің шарты бойынша, алғашқы функцияның графигі $M(1; 1,5)$ нүктесінен өтеді. Бұл дегеніміз, $x=1$ болғанда, $F(1) = 1,5$. Осы шартты пайдаланып, $C$ тұрақтысын табамыз:

$1,5 = \frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{3}{2}(1)^{4/3} + C$

Кез келген 1-дің дәрежесі 1-ге тең болғандықтан:

$1,5 = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 1 + C$

$1,5 = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + C$

Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз:

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6}$

Сонда теңдеу мына түрге келеді ($1,5 = 3/2$):

$\frac{3}{2} = \frac{13}{6} + C$

$C$ мәнін табамыз:

$C = \frac{3}{2} - \frac{13}{6} = \frac{9}{6} - \frac{13}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

$C$ тұрақтысының мәнін жалпы алғашқы функцияның формуласына қоямыз:

$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} - \frac{2}{3}$

Өрнекті түбірлер арқылы да жазуға болады:

$F(x) = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^4} - \frac{2}{3}$ немесе $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{3}{2}x\sqrt[3]{x} - \frac{2}{3}$

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} - \frac{2}{3}$