Номер 169, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-3}^{-2} 3x^{-2} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 3x^{-2}$. Используя правило интегрирования степенной функции, получаем: $F(x) = \int 3x^{-2} dx = 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -3x^{-1} = -\frac{3}{x}$. Теперь подставим пределы интегрирования $a=-3$ и $b=-2$: $\int_{-3}^{-2} 3x^{-2} dx = \left. -\frac{3}{x} \right|_{-3}^{-2} = \left(-\frac{3}{-2}\right) - \left(-\frac{3}{-3}\right) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{3-2}{2} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Сначала преобразуем подынтегральное выражение: $\frac{1}{\sqrt[5]{x}} = x^{-\frac{1}{5}}$. Теперь интеграл имеет вид $\int_{1}^{32} x^{-\frac{1}{5}} dx$. Найдем первообразную для $f(x) = x^{-\frac{1}{5}}$ по формуле для степенной функции: $F(x) = \int x^{-\frac{1}{5}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{5}+1}}{-\frac{1}{5}+1} = \frac{x^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}x^{\frac{4}{5}}$. Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=1$ и $b=32$: $\int_{1}^{32} x^{-\frac{1}{5}} dx = \left. \frac{5}{4}x^{\frac{4}{5}} \right|_{1}^{32} = \frac{5}{4}(32)^{\frac{4}{5}} - \frac{5}{4}(1)^{\frac{4}{5}}$. Так как $32 = 2^5$, то $(32)^{\frac{4}{5}} = (2^5)^{\frac{4}{5}} = 2^4 = 16$. Вычисляем значение: $\frac{5}{4} \cdot 16 - \frac{5}{4} \cdot 1 = 5 \cdot 4 - \frac{5}{4} = 20 - \frac{5}{4} = \frac{80}{4} - \frac{5}{4} = \frac{75}{4}$. Ответ: $\frac{75}{4}$.

3) Для вычисления интеграла $\int_{1}^{3} (\frac{1}{3}x+x)^2 dx$ сначала упростим подынтегральное выражение. Выражение в скобках равно $\frac{1}{3}x+x = (\frac{1}{3}+1)x = \frac{4}{3}x$. Тогда подынтегральная функция равна $(\frac{4}{3}x)^2 = \frac{16}{9}x^2$. Интеграл принимает вид $\int_{1}^{3} \frac{16}{9}x^2 dx$. Найдем первообразную для $f(x) = \frac{16}{9}x^2$: $F(x) = \int \frac{16}{9}x^2 dx = \frac{16}{9} \int x^2 dx = \frac{16}{9} \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{16}{9} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{16}{27}x^3$. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a=1$ и $b=3$: $\int_{1}^{3} \frac{16}{9}x^2 dx = \left. \frac{16}{27}x^3 \right|_{1}^{3} = \frac{16}{27}(3)^3 - \frac{16}{27}(1)^3 = \frac{16}{27} \cdot 27 - \frac{16}{27} \cdot 1 = 16 - \frac{16}{27} = \frac{16 \cdot 27 - 16}{27} = \frac{432 - 16}{27} = \frac{416}{27}$. Ответ: $\frac{416}{27}$.