Номер 164, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $f(x) = x\sqrt{x}$;
Для нахождения производной, сначала преобразуем функцию, представив корень в виде степени:
$f(x) = x \cdot x^{1/2}$
Используя свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$, получаем:
$f(x) = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$
Теперь применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{1/2}$
Можно записать ответ в виде корня:
$f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$
Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

2) $f(x) = x^{\sqrt{3}}$;
Это степенная функция вида $f(x) = x^n$, где $n = \sqrt{3}$.
Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = \sqrt{3} \cdot x^{\sqrt{3}-1}$
Ответ: $f'(x) = \sqrt{3}x^{\sqrt{3}-1}$

3) $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$;
Преобразуем функцию, используя свойство $1/a^n = a^{-n}$:
$f(x) = x^{-3/4}$
Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = -\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}-1} = -\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}-\frac{4}{4}} = -\frac{3}{4}x^{-7/4}$
Можно записать ответ с положительной степенью в знаменателе:
$f'(x) = -\frac{3}{4x^{7/4}}$
Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{4}x^{-7/4}$

4) $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x}}$;
Сначала преобразуем функцию к степенному виду:
$\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
$f(x) = \frac{3}{x^{1/3}} = 3x^{-1/3}$
Теперь находим производную, используя правило дифференцирования произведения константы на функцию и формулу для степенной функции:
$f'(x) = 3 \cdot (x^{-1/3})' = 3 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1}$
$f'(x) = -1 \cdot x^{-\frac{1}{3}-\frac{3}{3}} = -x^{-4/3}$
Можно записать ответ с положительной степенью в знаменателе:
$f'(x) = -\frac{1}{x^{4/3}}$
Ответ: $f'(x) = -x^{-4/3}$

5) $f(x) = x^3\sqrt[3]{x^2}$;
Преобразуем функцию к виду $x^n$:
$\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$
$f(x) = x^3 \cdot x^{2/3}$
Используя свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$, получаем:
$f(x) = x^{3 + 2/3} = x^{9/3 + 2/3} = x^{11/3}$
Теперь находим производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = \frac{11}{3}x^{\frac{11}{3}-1} = \frac{11}{3}x^{\frac{11}{3}-\frac{3}{3}} = \frac{11}{3}x^{8/3}$
Ответ: $f'(x) = \frac{11}{3}x^{8/3}$

6) $f(x) = \frac{x+5}{x^4}$.
Для нахождения производной можно использовать правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или сначала упростить выражение.
Второй способ проще. Разделим числитель на знаменатель почленно:
$f(x) = \frac{x}{x^4} + \frac{5}{x^4} = x^{1-4} + 5x^{-4} = x^{-3} + 5x^{-4}$
Теперь находим производную как сумму производных:
$f'(x) = (x^{-3})' + (5x^{-4})' = -3x^{-3-1} + 5(-4)x^{-4-1}$
$f'(x) = -3x^{-4} - 20x^{-5}$
Можно привести к общему знаменателю:
$f'(x) = -\frac{3}{x^4} - \frac{20}{x^5} = -\frac{3x}{x^5} - \frac{20}{x^5} = \frac{-3x - 20}{x^5}$
Ответ: $f'(x) = \frac{-3x - 20}{x^5}$