Номер 161, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Чтобы найти значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, необходимо сначала найти общую производную $f'(x)$, а затем подставить в нее значение $x_0$.
Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и точка $x_0 = 8$.
Представим функцию в виде степенной функции: $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.
Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 8$:
$f'(8) = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ и точка $x_0 = 9$.
Представим функцию в виде степенной функции: $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$:
$f'(9) = -\frac{1}{2 \cdot 9 \sqrt{9}} = -\frac{1}{2 \cdot 9 \cdot 3} = -\frac{1}{54}$.
Ответ: $-\frac{1}{54}$.

3) Дана функция $f(x) = -\frac{3}{x^2}$ и точка $x_0 = 6$.
Представим функцию в виде степенной функции: $f(x) = -3x^{-2}$.
Найдем производную, используя правило для константы и степенной функции:
$f'(x) = (-3x^{-2})' = -3 \cdot (-2)x^{-2-1} = 6x^{-3} = \frac{6}{x^3}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 6$:
$f'(6) = \frac{6}{6^3} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$.

4) Дана функция $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$ и точка $x_0 = 1$.
Функция уже представлена в виде степенной функции. Найдем ее производную:
$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3x^{\frac{4}{3}}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{1^4}} = -\frac{1}{3 \cdot 1} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.