Номер 157, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $x \in R$

Степенная функция $y=x^a$ с показателем $a = p/q$ (где $p/q$ — несократимая дробь) определена на всей числовой оси $R$, только если знаменатель $q$ является нечетным числом.

Чтобы функция была убывающей на $R$, ее производная $y' = ax^{a-1}$ должна быть отрицательной (или равной нулю в отдельных точках) для всех $x \in R$.

Если $a>0$, то для $x>0$ производная $y' > 0$, и функция возрастает. Если $a<0$, то функция не определена в точке $x=0$, поэтому она не может быть убывающей на всем множестве $R$. Таким образом, функция вида $y=x^a$ не может удовлетворять условию.

Однако, если рассмотреть степенную функцию в более общем виде $y=kx^a$, можно найти подходящий пример. Если взять функцию $y=x^a$, которая возрастает на $R$, и умножить ее на отрицательный коэффициент (например, $k=-1$), то полученная функция $y=-x^a$ будет убывать на $R$.

Функция $y=x^a$ с дробным показателем $a=p/q$ возрастает на $R$, если $a>0$ и $q$ — нечетное, а $p$ — тоже нечетное. Например, $a=1/3$. Тогда функция $y=x^{1/3}$ возрастает на $R$.

Возьмем в качестве примера функцию $y = -x^{1/3}$. Показатель $1/3$ является дробным. Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in R$). Найдем ее производную: $y' = (-x^{1/3})' = -\frac{1}{3}x^{-2/3} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.Поскольку $x^2 \ge 0$, то $\sqrt[3]{x^2} \ge 0$. Таким образом, производная $y' \le 0$ для всех $x$ из области определения и обращается в бесконечность только в точке $x=0$, а для всех $x \neq 0$ производная $y' < 0$. Следовательно, функция является убывающей на всем множестве действительных чисел $R$.

Ответ: $y = -x^{1/3}$.

2) $x \in [0; +\infty)$

Степенная функция $y=x^a$ определена на промежутке $[0; +\infty)$, если ее показатель $a>0$. Найдем ее производную: $y' = ax^{a-1}$.Поскольку $a>0$ и $x>0$, то $x^{a-1} > 0$. Следовательно, производная $y' = ax^{a-1} > 0$ для всех $x \in (0; +\infty)$. Это означает, что любая степенная функция $y=x^a$ с положительным показателем является возрастающей на промежутке $[0; +\infty)$.

Как и в предыдущем пункте, рассмотрим функцию вида $y=-x^a$. Чтобы эта функция убывала, функция $y=x^a$ должна возрастать. Мы уже установили, что любая функция $y=x^a$ с положительным дробным показателем $a$ возрастает на $[0; +\infty)$.

Возьмем в качестве примера $a=1/2$. Это положительный дробный показатель. Тогда функция $y=-x^{1/2} = -\sqrt{x}$.Область определения этой функции — $x \in [0; +\infty)$. Ее производная $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Для всех $x>0$ производная $y'<0$. Функция непрерывна на $[0; +\infty)$, следовательно, она является убывающей на этом промежутке.

Ответ: $y = -x^{1/2}$.

3) $x \in (0; +\infty)$

Рассмотрим степенную функцию $y=x^a$ на промежутке $(0; +\infty)$. Чтобы функция была убывающей, ее производная $y' = ax^{a-1}$ должна быть отрицательной для всех $x \in (0; +\infty)$.

На промежутке $(0; +\infty)$ множитель $x^{a-1}$ всегда положителен. Следовательно, знак производной определяется знаком показателя $a$. Чтобы производная $y'$ была отрицательной, необходимо, чтобы $a<0$.

Таким образом, любая степенная функция с отрицательным дробным показателем будет убывать на промежутке $(0; +\infty)$.

Возьмем в качестве примера $a=-1/2$. Функция имеет вид $y = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Показатель $-1/2$ является дробным и отрицательным. Область определения функции — $x \in (0; +\infty)$.Ее производная $y' = -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$. Эта производная отрицательна для всех $x>0$. Следовательно, функция убывает на $(0; +\infty)$.

Ответ: $y = x^{-1/2}$.