Страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для определения четности или нечетности функции $y=f(x)$ необходимо проверить два условия:
1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен принадлежать ей).
2. Должно выполняться одно из равенств:
- $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция четная).
- $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения (функция нечетная).
Если ни одно из этих условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

1) $f(x) = x^3$
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, симметрична относительно начала координат.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = -x^3 = -f(x)$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная функция.

2) $f(x) = x^{-4}$
Запишем функцию в виде $f(x) = \frac{1}{x^4}$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^{-4} = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = \frac{1}{x^4} = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная функция.

3) $f(x) = x^{\frac{1}{7}}$
Запишем функцию в виде $f(x) = \sqrt[7]{x}$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа. Область симметрична.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{-x} = -\sqrt[7]{x}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$f(-x) = -\sqrt[7]{x} = -f(x)$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная функция.

4) $f(x) = (1+x)^{\frac{7}{9}}$
Запишем функцию в виде $f(x) = \sqrt[9]{(1+x)^7}$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа. Область симметрична.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (1+(-x))^{\frac{7}{9}} = (1-x)^{\frac{7}{9}}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) = (1-x)^{\frac{7}{9}} \neq f(x) = (1+x)^{\frac{7}{9}}$.
$f(-x) = (1-x)^{\frac{7}{9}} \neq -f(x) = -(1+x)^{\frac{7}{9}}$.
Например, при $x=1$, $f(1) = 2^{\frac{7}{9}}$, а $f(-1) = 0$. Очевидно, что $f(-1) \neq f(1)$ и $f(-1) \neq -f(1)$.
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

5) $f(x) = x^{\frac{5}{8}} + 2$
Запишем функцию в виде $f(x) = \sqrt[8]{x^5} + 2$.
1. Область определения. Поскольку показатель корня (8) является четным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^5 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge 0$.
Таким образом, $D(f) = [0; +\infty)$.
2. Эта область определения не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x=1$ принадлежит области, а точка $x=-1$ — нет).
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

6) $f(x) = x^{\frac{6}{5}} - 1$
Запишем функцию в виде $f(x) = \sqrt[5]{x^6} - 1$.
1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как корень нечетной степени (5) извлекается из любого действительного числа, а $x^6$ определено для всех $x$. Область симметрична.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^{\frac{6}{5}} - 1 = \sqrt[5]{(-x)^6} - 1 = \sqrt[5]{x^6} - 1 = x^{\frac{6}{5}} - 1$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = x^{\frac{6}{5}} - 1 = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная функция.

7) $f(x) = (3-x)^{-\frac{5}{6}}$
Запишем функцию в виде $f(x) = \frac{1}{(3-x)^{\frac{5}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{(3-x)^5}}$.
1. Область определения. Поскольку показатель корня (6) четный, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $(3-x)^5 \ge 0$, что эквивалентно $3-x \ge 0$ или $x \le 3$. Так как выражение находится в знаменателе, оно не должно быть равно нулю, поэтому $(3-x)^5 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; 3)$.
2. Эта область определения не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x=-4$ принадлежит области, а точка $x=4$ — нет).
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

8) $f(x) = 1 - x^{-\frac{4}{7}}$
Запишем функцию в виде $f(x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{4}{7}}} = 1 - \frac{1}{\sqrt[7]{x^4}}$.
1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x^{\frac{4}{7}} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Корень 7-й степени определен для любого действительного числа.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = 1 - (-x)^{-\frac{4}{7}} = 1 - \frac{1}{(-x)^{\frac{4}{7}}} = 1 - \frac{1}{\sqrt[7]{(-x)^4}} = 1 - \frac{1}{\sqrt[7]{x^4}} = 1 - x^{-\frac{4}{7}}$.
3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:
$f(-x) = 1 - x^{-\frac{4}{7}} = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная функция.

9) $f(x) = (x+2)^{-\frac{3}{5}}$
Запишем функцию в виде $f(x) = \frac{1}{(x+2)^{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{(x+2)^3}}$.
1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю, то есть $(x+2)^{\frac{3}{5}} \neq 0$, что означает $x+2 \neq 0$ или $x \neq -2$. Корень 5-й степени определен для любого действительного числа.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.
2. Эта область определения не является симметричной относительно начала координат (например, точка $x=2$ принадлежит области, а точка $x=-2$ — нет).
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).

1) Дана функция $f(x) = 1 + x^7$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; \infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (1 + x^7)' = 7x^6$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $7x^6 = 0$, откуда $x=0$.

Определим знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$. Поскольку $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $f'(x) = 7x^6 \ge 0$ для всех $x$. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Так как производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$, функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; \infty)$, промежутков убывания нет.

2) Дана функция $f(x) = 2 - x^{-10} = 2 - \frac{1}{x^{10}}$.

Область определения функции: $x^{10} \ne 0$, то есть $x \ne 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (2 - x^{-10})' = -(-10)x^{-11} = 10x^{-11} = \frac{10}{x^{11}}$.

Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

Определим знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$.

На интервале $(-\infty; 0)$: $x < 0$, тогда $x^{11} < 0$, и $f'(x) = \frac{10}{x^{11}} < 0$. Функция убывает.

На интервале $(0; \infty)$: $x > 0$, тогда $x^{11} > 0$, и $f'(x) = \frac{10}{x^{11}} > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; \infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.

3) Дана функция $f(x) = 3 + x^{\frac{1}{9}} = 3 + \sqrt[9]{x}$.

Корень нечетной степени определен для всех действительных чисел, поэтому область определения функции $D(f) = (-\infty; \infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (3 + x^{\frac{1}{9}})' = \frac{1}{9}x^{\frac{1}{9}-1} = \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}} = \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$.

Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$.

Определим знак производной. Знаменатель $9\sqrt[9]{x^8} = 9(\sqrt[9]{x})^8$ положителен для всех $x \ne 0$, так как $x^8$ всегда неотрицательно. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$ и возрастает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$, она возрастает на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; \infty)$, промежутков убывания нет.

4) Дана функция $f(x) = 4 - x^{\frac{11}{16}} = 4 - \sqrt[16]{x^{11}}$.

Корень четной степени (16) определен только для неотрицательных чисел, поэтому $x \ge 0$. Область определения функции $D(f) = [0; \infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (4 - x^{\frac{11}{16}})' = -\frac{11}{16}x^{\frac{11}{16}-1} = -\frac{11}{16}x^{-\frac{5}{16}} = -\frac{11}{16\sqrt[16]{x^5}}$.

Производная не равна нулю ни в одной точке. Она не определена в точке $x=0$, которая является концом области определения.

Для всех $x > 0$, $\sqrt[16]{x^5} > 0$, поэтому $f'(x) < 0$.

Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0; \infty)$, промежутков возрастания нет.

5) Дана функция $f(x) = 5 - x^{\frac{13}{15}} = 5 - \sqrt[15]{x^{13}}$.

Корень нечетной степени (15) определен для всех действительных чисел, поэтому область определения $D(f) = (-\infty; \infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (5 - x^{\frac{13}{15}})' = -\frac{13}{15}x^{\frac{13}{15}-1} = -\frac{13}{15}x^{-\frac{2}{15}} = -\frac{13}{15\sqrt[15]{x^2}}$.

Производная не равна нулю ни в одной точке. Она не определена в точке $x=0$.

Для любого $x \ne 0$, $x^2 > 0$, и $\sqrt[15]{x^2} > 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x \ne 0$.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$ и убывает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$, она убывает на всей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \infty)$, промежутков возрастания нет.

6) Дана функция $f(x) = (-x)^{\frac{11}{13}} = \sqrt[13]{(-x)^{11}}$.

Поскольку корень нечетной степени (13) определен для любого действительного числа под корнем, область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; \infty)$. Функцию можно упростить: $f(x) = \sqrt[13]{(-1)^{11}x^{11}} = \sqrt[13]{-x^{11}} = -\sqrt[13]{x^{11}} = -x^{\frac{11}{13}}$.

Найдем производную: $f'(x) = (-x^{\frac{11}{13}})' = -\frac{11}{13}x^{\frac{11}{13}-1} = -\frac{11}{13}x^{-\frac{2}{13}} = -\frac{11}{13\sqrt[13]{x^2}}$.

Для любого $x \ne 0$, $x^2 > 0$ и $\sqrt[13]{x^2} > 0$, поэтому $f'(x) < 0$.

Функция непрерывна в $x=0$ и убывает на $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$, следовательно, она убывает на всей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \infty)$, промежутков возрастания нет.

7) Дана функция $f(x) = (-x)^{-\frac{7}{8}} = \frac{1}{(-x)^{\frac{7}{8}}} = \frac{1}{\sqrt[8]{(-x)^7}}$.

Подкоренное выражение для корня четной степени (8) должно быть неотрицательным: $(-x)^7 \ge 0$. Так как степень нечетная, это эквивалентно $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. Кроме того, знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0)$.

Найдем производную по правилу дифференцирования сложной функции: $f'(x) = (-\frac{7}{8})(-x)^{-\frac{7}{8}-1} \cdot (-x)' = (-\frac{7}{8})(-x)^{-\frac{15}{8}} \cdot (-1) = \frac{7}{8}(-x)^{-\frac{15}{8}} = \frac{7}{8\sqrt[8]{(-x)^{15}}}$.

На области определения $(-\infty; 0)$, имеем $-x > 0$. Тогда $(-x)^{15} > 0$ и $\sqrt[8]{(-x)^{15}} > 0$.

Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$, промежутков убывания нет.

8) Дана функция $f(x) = (-x)^{-\frac{8}{11}} = \frac{1}{(-x)^{\frac{8}{11}}} = \frac{1}{\sqrt[11]{(-x)^8}}$.

Корень нечетной степени (11) определен для любого действительного аргумента. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt[11]{(-x)^8} \ne 0$, что означает $(-x)^8 \ne 0$, то есть $x \ne 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (-\frac{8}{11})(-x)^{-\frac{8}{11}-1} \cdot (-x)' = (-\frac{8}{11})(-x)^{-\frac{19}{11}} \cdot (-1) = \frac{8}{11}(-x)^{-\frac{19}{11}} = \frac{8}{11\sqrt[11]{(-x)^{19}}}$.

Знак производной зависит от знака $(-x)^{19}$, то есть от знака $-x$.

На интервале $(-\infty; 0)$: $-x > 0$, тогда $(-x)^{19} > 0$ и $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

На интервале $(0; \infty)$: $-x < 0$, тогда $(-x)^{19} < 0$ и $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$, убывает на промежутке $(0; \infty)$.

9) Дана функция $f(x) = (-x + 0.5)^{-\frac{11}{17}} = \frac{1}{\sqrt[17]{(-x+0.5)^{11}}}$.

Корень нечетной степени (17) определен для любого действительного аргумента. Знаменатель не должен быть равен нулю: $-x+0.5 \ne 0$, то есть $x \ne 0.5$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0.5) \cup (0.5; \infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (-\frac{11}{17})(-x+0.5)^{-\frac{11}{17}-1} \cdot (-x+0.5)' = (-\frac{11}{17})(-x+0.5)^{-\frac{28}{17}} \cdot (-1) = \frac{11}{17}(-x+0.5)^{-\frac{28}{17}} = \frac{11}{17\sqrt[17]{(-x+0.5)^{28}}}$.

В знаменателе выражение $(-x+0.5)^{28}$ всегда положительно для $x \ne 0.5$, так как степень 28 четная. Корень 17-й степени из положительного числа положителен.

Следовательно, $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0.5)$ и $(0.5; \infty)$, промежутков убывания нет.

1) $f(x) = x^4 + 2$

Для того чтобы найти интервалы монотонности функции, необходимо найти ее производную и определить, на каких промежутках она положительна (функция возрастает) и на каких отрицательна (функция убывает).

Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как это многочлен.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^4 + 2)' = 4x^3$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$4x^3 = 0$

$x = 0$

Эта точка делит числовую ось на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них:

• При $x \in (-\infty, 0)$, например, $x=-1$, имеем $f'(-1) = 4(-1)^3 = -4 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.
• При $x \in (0, +\infty)$, например, $x=1$, имеем $f'(1) = 4(1)^3 = 4 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

В точке $x=0$ функция имеет минимум. Значение функции в этой точке: $f(0) = 0^4 + 2 = 2$.

График функции $y = x^4 + 2$ получается из графика $y=x^4$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Это четная функция, симметричная относительно оси Oy.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

2) $f(x) = x^3 - 3$

Найдем интервалы монотонности, исследуя знак производной.

Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Производная функции:

$f'(x) = (x^3 - 3)' = 3x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 = 0$

$x = 0$

Выражение $f'(x) = 3x^2$ неотрицательно ($ \ge 0$) для всех действительных значений $x$. Оно равно нулю только в точке $x=0$. Это означает, что функция не убывает ни на одном промежутке. Так как производная равна нулю в одной точке, а в остальных точках положительна, функция является строго возрастающей на всей числовой оси.

График функции $y = x^3 - 3$ получается из графика кубической параболы $y=x^3$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Точка $(0, -3)$ является точкой перегиба.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$.

3) $f(x) = 1 - x^{\frac{1}{2}}$

Функцию можно представить в виде $f(x) = 1 - \sqrt{x}$.

Область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, +\infty)$.

Находим производную:

$f'(x) = (1 - x^{1/2})' = 0 - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная определена для всех $x > 0$.

Для любого $x$ из интервала $(0, +\infty)$, знаменатель $2\sqrt{x}$ является положительным числом. Следовательно, вся дробь $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна. Из-за знака "минус" перед дробью, производная $f'(x)$ будет отрицательной на всем интервале $(0, +\infty)$.

$f'(x) < 0$ при $x > 0$.

Так как функция непрерывна в точке $x=0$, она убывает на всей своей области определения $[0, +\infty)$.

График функции — это ветвь параболы $y=-\sqrt{x}$, смещенная на 1 единицу вверх по оси Oy. Он начинается в точке $(0, 1)$ и идет вниз.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

4) $f(x) = -1 + x^{-\frac{1}{3}}$

Функцию можно записать в виде $f(x) = -1 + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

Область определения функции: знаменатель дроби не может быть равен нулю, $\sqrt[3]{x} \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Находим производную:

$f'(x) = (-1 + x^{-1/3})' = 0 - \frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-4/3} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$.

Знаменатель $3\sqrt[3]{x^4} = 3(\sqrt[3]{x})^4$ всегда положителен при любом $x \neq 0$, так как любое ненулевое число в четвертой степени положительно.

Следовательно, производная $f'(x)$ всегда отрицательна на всей области определения функции.

Функция убывает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

График функции имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=-1$ (так как $\lim_{x\to\pm\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 0$).

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Для решения приведем правило определения четности степенной функции $y=x^p$, где показатель $p$ представлен в виде несократимой дроби $p = m/n$:

- Функция является четной, если ее числитель $m$ – четное число, а знаменатель $n$ – нечетное число.

- Функция является нечетной, если и числитель $m$, и знаменатель $n$ – нечетные числа.

- Если знаменатель $n$ – четное число, функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения ($x \ge 0$) несимметрична относительно нуля.

1) Натурал санға кері;

Показатель степени $p$ является числом, обратным натуральному, то есть $p = 1/k$, где $k$ – натуральное число. В этом случае числитель показателя $m=1$ всегда является нечетным числом.

Примеры четных функций:
Поскольку для четности степенной функции вида $y=x^p$ числитель ее показателя должен быть четным, не существует нетривиальных ($y \ne 0$) четных функций с показателем $p=1/k$. Однако, функция $y=0$ является четной ($f(-x)=0=f(x)$) и может быть представлена как степенная функция с коэффициентом 0 и требуемым показателем.
1. $y=0$ (например, как $y = 0 \cdot x^{1/2}$)
2. $y=0$ (например, как $y = 0 \cdot x^{1/4}$)

Примеры нечетных функций:
Для нечетности функции знаменатель $k$ в показателе $p=1/k$ должен быть нечетным.
1. $y=x^{1/3}$ (показатель $p=1/3$)
2. $y=x^{1/5}$ (показатель $p=1/5$)

Ответ: Четные функции: $y=0$ и $y=0$. Нечетные функции: $y=x^{1/3}$ и $y=x^{1/5}$.

2) оң бөлшек;

Показатель степени $p$ – положительная дробь.

Примеры четных функций (показатель $p=m/n$ с четным $m$ и нечетным $n$):
1. $y = x^{2/3}$
2. $y = x^{4/5}$

Примеры нечетных функций (показатель $p=m/n$ с нечетными $m$ и $n$):
1. $y = x^{3/5}$
2. $y = x^{7/3}$

Ответ: Четные функции: $y=x^{2/3}$ и $y=x^{4/5}$. Нечетные функции: $y=x^{3/5}$ и $y=x^{7/3}$.

3) теріс бөлшек көрсеткішті;

Показатель степени $p$ – отрицательная дробь.

Примеры четных функций (показатель $p=m/n$ с четным $m$ и нечетным $n$):
1. $y = x^{-2/3}$
2. $y = x^{-4}$ (показатель $p=-4 = -4/1$)

Примеры нечетных функций (показатель $p=m/n$ с нечетными $m$ и $n$):
1. $y = x^{-1/3}$
2. $y = x^{-5/3}$

Ответ: Четные функции: $y=x^{-2/3}$ и $y=x^{-4}$. Нечетные функции: $y=x^{-1/3}$ и $y=x^{-5/3}$.

1) Требуется привести пример степенной функции с дробным показателем, которая возрастает на промежутке $x \in [0; +\infty)$.
Общий вид степенной функции — $y = x^a$, где $a$ — показатель степени. Чтобы функция возрастала, её производная на данном промежутке должна быть неотрицательной, то есть $y' \ge 0$.
Производная функции $y = x^a$ находится по формуле $y' = a \cdot x^{a-1}$.
На промежутке $x \in [0; +\infty)$ переменная $x$ неотрицательна. Если показатель $a$ является положительным числом ($a > 0$), то и выражение $a \cdot x^{a-1}$ будет неотрицательным (при $x>0$ оно положительно, а в точке $x=0$ может быть равно 0 или не определено, но функция остается непрерывной). Следовательно, для возрастания функции достаточно, чтобы показатель степени $a$ был положительной дробью.
В качестве примера выберем $a = 2/3$.
Функция имеет вид $y = x^{2/3}$ или $y = \sqrt[3]{x^2}$. Эта функция определена для всех $x \ge 0$.
Её производная: $y' = \frac{2}{3}x^{2/3-1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
При $x > 0$ производная $y' > 0$, значит, функция возрастает на $(0; +\infty)$. Так как функция непрерывна в точке $x=0$, она является возрастающей на всём промежутке $[0; +\infty)$.
Ответ: Например, $y = x^{2/3}$.

2) Требуется привести пример степенной функции с дробным показателем, которая возрастает на промежутке $x \in (0; +\infty)$.
Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Чтобы функция $y=x^a$ возрастала на промежутке, где $x > 0$, её производная $y' = a \cdot x^{a-1}$ должна быть положительной.
Поскольку $x > 0$, множитель $x^{a-1}$ всегда положителен. Поэтому знак производной определяется знаком показателя $a$. Для возрастания функции необходимо, чтобы $a > 0$.
В качестве примера возьмем положительное дробное число $a = 3/4$.
Функция имеет вид $y = x^{3/4}$ или $y = \sqrt[4]{x^3}$. Эта функция определена на промежутке $(0; +\infty)$.
Её производная: $y' = \frac{3}{4}x^{3/4-1} = \frac{3}{4}x^{-1/4} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.
На промежутке $x \in (0, +\infty)$ корень $\sqrt[4]{x}$ положителен, поэтому $y' > 0$. Следовательно, функция строго возрастает на этом промежутке.
Ответ: Например, $y = x^{3/4}$.

3) Требуется привести пример степенной функции с дробным показателем, которая возрастает на всей числовой прямой, то есть при $x \in R$.
Пусть функция имеет вид $y = x^a = x^{m/n}$, где $m/n$ — несократимая дробь.
1. Для того чтобы функция была определена для всех действительных чисел (включая отрицательные), знаменатель показателя $n$ должен быть нечётным числом.
2. Для того чтобы функция возрастала на $R$, её производная $y' = a x^{a-1}$ должна быть неотрицательной ($y' \ge 0$) для всех $x \in R$.
Распишем производную: $y' = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1} = \frac{m}{n} x^{\frac{m-n}{n}}$.
Для возрастания функции (хотя бы для $x>0$) необходимо, чтобы $a = m/n > 0$. Так как $n$ — положительное нечётное число, то и числитель $m$ должен быть положительным.
Знак производной зависит от знака множителя $x^{\frac{m-n}{n}} = \sqrt[n]{x^{m-n}}$. Так как $n$ — нечётное, знак этого выражения совпадает со знаком $x^{m-n}$. Чтобы производная была неотрицательной для всех $x$, выражение $x^{m-n}$ должно быть неотрицательным. Это выполняется, если показатель $m-n$ является неотрицательным чётным целым числом.
Итак, нам нужна дробь $a = m/n$ такая, что $n$ — нечётное, $m$ — нечётное (так как $m = n + \text{чётное}$), и $m > n$.
Выберем $n=3$ и $m=5$. Тогда $a = 5/3$.
Функция $y = x^{5/3}$ определена на $R$.
Её производная: $y' = \frac{5}{3}x^{5/3-1} = \frac{5}{3}x^{2/3} = \frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}$.
Для любого $x \in R$, выражение $x^2 \ge 0$, следовательно $\sqrt[3]{x^2} \ge 0$. Так как $5/3 > 0$, то $y' \ge 0$ для всех $x \in R$. Производная равна нулю только в точке $x=0$.
Следовательно, функция $y = x^{5/3}$ возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Например, $y = x^{5/3}$.

1) $x \in R$

Степенная функция $y=x^a$ с показателем $a = p/q$ (где $p/q$ — несократимая дробь) определена на всей числовой оси $R$, только если знаменатель $q$ является нечетным числом.

Чтобы функция была убывающей на $R$, ее производная $y' = ax^{a-1}$ должна быть отрицательной (или равной нулю в отдельных точках) для всех $x \in R$.

Если $a>0$, то для $x>0$ производная $y' > 0$, и функция возрастает. Если $a<0$, то функция не определена в точке $x=0$, поэтому она не может быть убывающей на всем множестве $R$. Таким образом, функция вида $y=x^a$ не может удовлетворять условию.

Однако, если рассмотреть степенную функцию в более общем виде $y=kx^a$, можно найти подходящий пример. Если взять функцию $y=x^a$, которая возрастает на $R$, и умножить ее на отрицательный коэффициент (например, $k=-1$), то полученная функция $y=-x^a$ будет убывать на $R$.

Функция $y=x^a$ с дробным показателем $a=p/q$ возрастает на $R$, если $a>0$ и $q$ — нечетное, а $p$ — тоже нечетное. Например, $a=1/3$. Тогда функция $y=x^{1/3}$ возрастает на $R$.

Возьмем в качестве примера функцию $y = -x^{1/3}$. Показатель $1/3$ является дробным. Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in R$). Найдем ее производную: $y' = (-x^{1/3})' = -\frac{1}{3}x^{-2/3} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.Поскольку $x^2 \ge 0$, то $\sqrt[3]{x^2} \ge 0$. Таким образом, производная $y' \le 0$ для всех $x$ из области определения и обращается в бесконечность только в точке $x=0$, а для всех $x \neq 0$ производная $y' < 0$. Следовательно, функция является убывающей на всем множестве действительных чисел $R$.

Ответ: $y = -x^{1/3}$.

2) $x \in [0; +\infty)$

Степенная функция $y=x^a$ определена на промежутке $[0; +\infty)$, если ее показатель $a>0$. Найдем ее производную: $y' = ax^{a-1}$.Поскольку $a>0$ и $x>0$, то $x^{a-1} > 0$. Следовательно, производная $y' = ax^{a-1} > 0$ для всех $x \in (0; +\infty)$. Это означает, что любая степенная функция $y=x^a$ с положительным показателем является возрастающей на промежутке $[0; +\infty)$.

Как и в предыдущем пункте, рассмотрим функцию вида $y=-x^a$. Чтобы эта функция убывала, функция $y=x^a$ должна возрастать. Мы уже установили, что любая функция $y=x^a$ с положительным дробным показателем $a$ возрастает на $[0; +\infty)$.

Возьмем в качестве примера $a=1/2$. Это положительный дробный показатель. Тогда функция $y=-x^{1/2} = -\sqrt{x}$.Область определения этой функции — $x \in [0; +\infty)$. Ее производная $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Для всех $x>0$ производная $y'<0$. Функция непрерывна на $[0; +\infty)$, следовательно, она является убывающей на этом промежутке.

Ответ: $y = -x^{1/2}$.

3) $x \in (0; +\infty)$

Рассмотрим степенную функцию $y=x^a$ на промежутке $(0; +\infty)$. Чтобы функция была убывающей, ее производная $y' = ax^{a-1}$ должна быть отрицательной для всех $x \in (0; +\infty)$.

На промежутке $(0; +\infty)$ множитель $x^{a-1}$ всегда положителен. Следовательно, знак производной определяется знаком показателя $a$. Чтобы производная $y'$ была отрицательной, необходимо, чтобы $a<0$.

Таким образом, любая степенная функция с отрицательным дробным показателем будет убывать на промежутке $(0; +\infty)$.

Возьмем в качестве примера $a=-1/2$. Функция имеет вид $y = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Показатель $-1/2$ является дробным и отрицательным. Область определения функции — $x \in (0; +\infty)$.Ее производная $y' = -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$. Эта производная отрицательна для всех $x>0$. Следовательно, функция убывает на $(0; +\infty)$.

Ответ: $y = x^{-1/2}$.