Страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Дәрежелік функциялардың әр түрлі болуының себебі неде?

Дәрежелік функциялардың әр түрлі болуының негізгі себебі олардың дәреже көрсеткішінде жатыр. Дәрежелік функцияның жалпы түрі $y = x^p$, мұндағы $p$ — дәреже көрсеткіші деп аталатын тұрақты нақты сан.

Функцияның қасиеттері (анықталу облысы, мәндер жиыны, жұптығы/тақтығы, өсу/кему аралықтары) және оның графигінің пішіні осы $p$ көрсеткішінің мәніне тікелей байланысты. $p$ көрсеткішінің әр түрлі сандар жиынына жатуына байланысты функцияның қасиеттері түбегейлі өзгереді. Негізгі жағдайларды қарастырайық:

1.$p$ — натурал сан ($p=n, n \in \mathbb{N}$).

• Егер $n$ — жұп сан болса (мысалы, $y=x^2, y=x^4$), функция жұп, барлық нақты сандар осінде анықталған, мәндер жиыны — $[0, +\infty)$. Графигі OY осіне қатысты симметриялы парабола тәрізді қисық.

• Егер $n$ — тақ сан болса (мысалы, $y=x, y=x^3$), функция тақ, барлық нақты сандар осінде анықталған, мәндер жиыны — $(-\infty, +\infty)$. Графигі бас нүктеге қатысты симметриялы кубтық парабола тәрізді қисық.

2.$p$ — теріс бүтін сан ($p=-n, n \in \mathbb{N}$).

• Егер $n$ — жұп сан болса (мысалы, $y=x^{-2}$), функция жұп, $x \ne 0$ нүктелерінде анықталған, мәндер жиыны — $(0, +\infty)$. Графигі жоғарғы жарты жазықтықта орналасқан.

• Егер $n$ — тақ сан болса (мысалы, $y=x^{-1}$), функция тақ, $x \ne 0$ нүктелерінде анықталған, мәндер жиыны — $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Графигі — гипербола.

3.$p$ — оң бөлшек сан ($p > 0, p \notin \mathbb{N}$).

Мысалы, $y=x^{1/2} = \sqrt{x}$ немесе $y=x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$. Бұл жағдайда анықталу облысы мен графиктің пішіні бөлшектің бөліміне байланысты. Егер бөлшектің бөлімі жұп болса, функция тек теріс емес $x$ үшін анықталады. Егер $0 < p < 1$ болса, график ойыс, ал $p > 1$ болса, дөңес болады.

4.$p$ — теріс бөлшек сан ($p < 0, p \notin \mathbb{Z}$).

Мысалы, $y=x^{-1/2}$. Бұл жағдайда функция $x=0$ нүктесінде анықталмаған және $x>0$ үшін қарастырылады.

5.$p$ — иррационал сан.

Мысалы, $y=x^{\sqrt{2}}$. Бұл функциялар әдетте тек $x \ge 0$ (егер $p>0$) немесе $x > 0$ (егер $p<0$) үшін анықталады, себебі теріс санды иррационал дәрежеге шығару операциясы нақты сандар жиынында анықталмаған.

Ответ: Дәрежелік функциялардың әр түрлі болуының себебі — олардың $y = x^p$ түріндегі формуласындағы $p$ дәреже көрсеткішінің сан алуан мәндер қабылдауында (оң, теріс, бүтін, бөлшек, иррационал). $p$ көрсеткішінің сипаты функцияның негізгі қасиеттерін (анықталу облысын, жұп/тақтығын, монотондылығын, шектеулілігін) және оның графигінің түрін толығымен анықтайды.

2. Қандай жағдайда дәрежелік функция жоғарыдан немесе төменнен шектелген болады?

Дәрежелік функцияның ($y=x^p$) шектеулілігі оның дәреже көрсеткішіне $p$ және анықталу облысына байланысты.

Төменнен шектелген жағдайлар:

Функцияның мәндер жиынында ең кіші мән бар немесе барлық мәндері белгілі бір саннан үлкен болса, ол төменнен шектелген болады.

1. Егер $p$ — оң жұп бүтін сан болса (мысалы, $p=2, 4, 6, ...$), $y=x^p$ функциясының мәндер жиыны $[0, +\infty)$ болады. Демек, ол төменнен 0 санымен шектелген. Мысалы, $y=x^2$ функциясы:

2. Егер $p$ — теріс жұп бүтін сан болса (мысалы, $p=-2, -4, ...$), $y=x^p$ функциясының мәндер жиыны $(0, +\infty)$ болады. Бұл жағдайда да функция төменнен 0 санымен шектелген (бірақ 0-ге жете алмайды).

3. Егер $p = m/n$ — қысқартылмайтын оң бөлшек және оның алымы $m$ жұп сан болса (мысалы, $y=x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$), функцияның мәндері әрқашан теріс емес, яғни мәндер жиыны $[0, +\infty)$. Ол төменнен 0-мен шектелген.

4. Егер $p$ кез келген оң сан болып, функцияның анықталу облысы тек теріс емес сандармен шектелсе ($x \ge 0$), онда функция төменнен 0 санымен шектелген болады.

Жоғарыдан шектелген жағдайлар:

Дәрежелік функциялар әдетте өздерінің табиғи анықталу облыстарында жоғарыдан шектелмеген болады. Бірақ белгілі бір жағдайларда немесе аралықтарда жоғарыдан шектелуі мүмкін.

1. Егер $p$ — теріс сан болса және функцияның анықталу облысы $(-\infty, 0)$ аралығымен шектелсе, онда оның мәндері теріс болады. Мысалы, $y = x^{-3} = 1/x^3$ функциясы $x < 0$ үшін $(-\infty, 0)$ аралығындағы мәндерді қабылдайды. Демек, бұл аралықта ол жоғарыдан 0 санымен шектелген.

2. Егер $p$ — тақ оң сан болса (мысалы, $p=1, 3, 5, ...$) және функцияның анықталу облысы $(-\infty, 0]$ аралығымен шектелсе, онда оның мәндер жиыны $(-\infty, 0]$ болады. Бұл аралықта функция жоғарыдан 0 санымен шектелген.

Ответ: Дәрежелік функция $p$ көрсеткіші жұп және оң болғанда (мысалы, $y=x^2, y=x^{2/3}$) немесе $p$ теріс және көрсеткіштің алымы жұп болғанда (мысалы, $y=x^{-2}$) төменнен шектелген болады. Жалпы алғанда, егер функцияның мәндері тек оң сандар болса, ол төменнен шектелген. Функциялар өздерінің табиғи анықталу облысында сирек жағдайда жоғарыдан шектеледі, бірақ анықталу облысы шектелгенде (мысалы, $x<0$ аралығында) жоғарыдан шектелуі мүмкін.

3. $y = x^{\frac{m}{n}}$ функциясындағы $\frac{m}{n}$ бөлшегі неге қысқартылмайтын бөлшек болуы керек?

$y = x^{\frac{m}{n}}$ функциясындағы $\frac{m}{n}$ бөлшегін қысқартылмайтын түрде жазу шарты функцияны бірмәнді анықтау үшін қажет. Егер бөлшекті қысқартуға рұқсат етілсе, бірдей рационал санға сәйкес келетін әртүрлі функциялар пайда болар еді, бұл шатасуға әкеледі. Мұны мысалмен түсіндірейік.

Мысалы, $p = \frac{2}{4}$ және $p = \frac{1}{2}$ рационал сандарын қарастырайық. Бұл сандар өзара тең: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

1. Егер дәреже көрсеткішін $p = \frac{1}{2}$ деп алсақ, онда функция $y = x^{1/2}$ болады. Дәреженің анықтамасы бойынша, бұл $y = \sqrt{x}$. Бұл функцияның анықталу облысы — $x \ge 0$, яғни $[0, +\infty)$ аралығы.

2. Егер дәреже көрсеткішін қысқартпай, $p = \frac{2}{4}$ түрінде алсақ, онда функция $y = x^{2/4}$ болады. Анықтама бойынша, бұл $y = \sqrt[4]{x^2}$. Бұл өрнекте түбір астында $x^2$ тұр. $x$-тің кез келген нақты мәнінде $x^2 \ge 0$ болатындықтан, 4-дәрежелі түбір барлық $x$ үшін анықталған. Демек, бұл функцияның анықталу облысы — барлық нақты сандар жиыны, яғни $(-\infty, +\infty)$. Сонымен қатар, $\sqrt[4]{x^2} = \sqrt{|x|}$.

Нәтижесінде біз екі түрлі функция алдық:

• $y = \sqrt{x}$ (анықталу облысы $[0, +\infty)$)

• $y = \sqrt{|x|}$ (анықталу облысы $(-\infty, +\infty)$)

Бұл екі функция бірдей емес, себебі олардың анықталу облыстары әртүрлі. Мысалы, $x = -4$ нүктесінде $y = \sqrt{|-4|} = \sqrt{4} = 2$ мәні бар, ал $y = \sqrt{x}$ функциясы бұл нүктеде анықталмаған.

Осындай екіұштылықты болдырмау үшін және кез келген рационал $p$ дәреже көрсеткішіне тек бір ғана дәрежелік функция сәйкес келуі үшін, дәреже көрсеткішін әрқашан қысқартылмайтын $\frac{m}{n}$ бөлшегі түрінде жазу келісілген. Бұл — математикада қабылданған стандартты шарт.

Ответ: $y = x^{\frac{m}{n}}$ функциясындағы $\frac{m}{n}$ бөлшегінің қысқартылмайтын болуы шарт, себебі бөлшекті қысқарту функцияның анықталу облысын және оның түрін өзгертіп жіберуі мүмкін. Мысалы, $x^{2/4} = \sqrt[4]{x^2} = \sqrt{|x|}$ функциясы барлық нақты сандар үшін анықталса, оның қысқартылған түрі $x^{1/2} = \sqrt{x}$ тек теріс емес сандар үшін анықталған. Функцияны бірмәнді анықтау үшін дәреже көрсеткіші ретінде әрқашан қысқартылмайтын бөлшек алынады.

Анықталу облысы – бұл функцияның мағынасы бар болатын аргументтің ($x$-тің) барлық мүмкін мәндерінің жиыны. Дәрежелік функция $y = x^p$ үшін анықталу облысы $p$ дәреже көрсеткішіне байланысты болады.

1) $f(x) = x^5$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = 5$ – оң бүтін сан. Мұндай функциялар (көпмүшеліктер) барлық нақты сандар жиынында анықталған.
Демек, анықталу облысы – барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = x^{-7}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = -7$ – теріс бүтін сан. Функцияны $f(x) = \frac{1}{x^7}$ түрінде жазуға болады. Бөлшектің бөлімі нөлге тең бола алмайды, яғни $x^7 \neq 0$. Бұл шарт $x \neq 0$ болғанда орындалады.
Демек, анықталу облысы – нөлден басқа барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) $f(x) = x^{\frac{1}{5}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = \frac{1}{5}$ – оң бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \sqrt[5]{x}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (5) – тақ сан, сондықтан тақ дәрежелі түбір кез келген нақты сан үшін анықталған.
Демек, анықталу облысы – барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) $f(x) = x^{\frac{9}{10}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = \frac{9}{10}$ – оң бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \sqrt[10]{x^9}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (10) – жұп сан. Жұп дәрежелі түбірдің астындағы өрнек теріс емес болуы керек, яғни $x \ge 0$.
Демек, анықталу облысы – теріс емес нақты сандар.
Ответ: $D(f) = [0; +\infty)$.

5) $f(x) = x^{\frac{4}{7}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = \frac{4}{7}$ – оң бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \sqrt[7]{x^4}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (7) – тақ сан, сондықтан тақ дәрежелі түбір кез келген нақты сан үшін анықталған (себебі $x^4$ кез келген $x$ үшін теріс емес).
Демек, анықталу облысы – барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

6) $f(x) = x^{\frac{11}{13}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = \frac{11}{13}$ – оң бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \sqrt[13]{x^{11}}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (13) – тақ сан. Сондықтан функция барлық нақты сандар үшін анықталған.
Демек, анықталу облысы – барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

7) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = -\frac{3}{4}$ – теріс бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (4) – жұп сан, сондықтан түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек: $x^3 \ge 0$, бұл $x \ge 0$ дегенді білдіреді. Сонымен қатар, бөлшектің бөлімі нөлге тең бола алмайды, яғни $\sqrt[4]{x^3} \neq 0$, бұл $x \neq 0$ дегенді білдіреді. Екі шартты біріктірсек, $x > 0$.
Демек, анықталу облысы – оң нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (0; +\infty)$.

8) $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = -\frac{2}{3}$ – теріс бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (3) – тақ сан, сондықтан түбір кез келген $x$ үшін анықталған. Алайда, бөлшектің бөлімі нөлге тең бола алмайды: $\sqrt[3]{x^2} \neq 0$, бұл $x^2 \neq 0$ немесе $x \neq 0$ дегенді білдіреді.
Демек, анықталу облысы – нөлден басқа барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

9) $f(x) = x^{-\frac{5}{7}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = -\frac{5}{7}$ – теріс бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{5}{7}}} = \frac{1}{\sqrt[7]{x^5}}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (7) – тақ сан, сондықтан түбір кез келген $x$ үшін анықталған. Бөлшектің бөлімі нөлге тең болмауы керек: $\sqrt[7]{x^5} \neq 0$, бұл $x^5 \neq 0$ немесе $x \neq 0$ дегенді білдіреді.
Демек, анықталу облысы – нөлден басқа барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

1) Функция $f(x) = x^{11}$. Показатель степени $p=11$ - нечетное целое число. Область определения функции - все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Поскольку показатель степени нечетный, знак функции совпадает со знаком аргумента $x$.

При $x > 0$ функция $f(x) > 0$.

При $x < 0$ функция $f(x) < 0$.

Следовательно, функция положительна на интервале $(0; +\infty)$ и отрицательна на интервале $(-\infty; 0)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

2) Функция $f(x) = x^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{x}$. Показатель степени $p = 1/9$. Так как знаменатель показателя (9) нечетный, область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Знак функции $f(x) = \sqrt[9]{x}$ совпадает со знаком подкоренного выражения $x$.

При $x > 0$ функция $f(x) > 0$.

При $x < 0$ функция $f(x) < 0$.

Следовательно, функция положительна на интервале $(0; +\infty)$ и отрицательна на интервале $(-\infty; 0)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

3) Функция $f(x) = x^{-8} = \frac{1}{x^8}$. Показатель степени $p=-8$ - отрицательное четное целое число. Область определения функции: $x^8 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Знаменатель $x^8$ всегда положителен для любого $x$ из области определения, так как любое ненулевое число в четной степени положительно.

Следовательно, функция $f(x)$ положительна на всей своей области определения.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) Функция $f(x) = x^{\frac{11}{12}} = \sqrt[12]{x^{11}}$. Показатель степени $p = 11/12$. Так как знаменатель показателя (12) - четное число, функция определена для неотрицательных значений $x$, при которых подкоренное выражение $x^{11}$ неотрицательно. Условие $x^{11} \ge 0$ выполняется при $x \ge 0$. Область определения $D(f) = [0; +\infty)$.

При $x > 0$, $x^{11} > 0$, и корень четной степени из положительного числа положителен, значит $f(x) > 0$.

Следовательно, функция положительна на интервале $(0; +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

5) Функция $f(x) = x^{\frac{12}{13}} = \sqrt[13]{x^{12}}$. Показатель степени $p = 12/13$. Знаменатель показателя (13) - нечетный, поэтому область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Выражение под корнем, $x^{12}$, неотрицательно для всех $x$, так как показатель степени (12) четный. При $x \neq 0$, $x^{12} > 0$.

Корень нечетной степени из положительного числа положителен. Таким образом, $f(x) = \sqrt[13]{x^{12}} > 0$ для всех $x \neq 0$.

Следовательно, функция положительна на всей области определения, кроме точки $x=0$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6) Функция $f(x) = x^{\frac{15}{17}} = \sqrt[17]{x^{15}}$. Показатель степени $p = 15/17$. И числитель (15), и знаменатель (17) показателя - нечетные числа. Так как знаменатель нечетный, область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Знак функции $f(x) = \sqrt[17]{x^{15}}$ совпадает со знаком подкоренного выражения $x^{15}$. В свою очередь, знак $x^{15}$ совпадает со знаком $x$, так как 15 - нечетное число.

При $x > 0$ имеем $f(x) > 0$.

При $x < 0$ имеем $f(x) < 0$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

7) Функция $f(x) = x^{-\frac{7}{10}} = \frac{1}{x^{7/10}} = \frac{1}{\sqrt[10]{x^7}}$. Показатель степени $p = -7/10$.

Область определения: из-за отрицательного показателя $x \neq 0$. Так как знаменатель дроби в показателе (10) четный, подкоренное выражение $x^7$ должно быть неотрицательным: $x^7 \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Объединяя условия ($x \neq 0$ и $x \ge 0$), получаем $x > 0$. Область определения $D(f) = (0; +\infty)$.

Для всех $x$ из области определения ($x > 0$), $x^7 > 0$, $\sqrt[10]{x^7} > 0$, и вся дробь $f(x)$ положительна.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

8) Функция $f(x) = x^{-\frac{8}{13}} = \frac{1}{x^{8/13}} = \frac{1}{\sqrt[13]{x^8}}$. Показатель степени $p = -8/13$.

Область определения: из-за отрицательного показателя $x \neq 0$. Знаменатель дроби в показателе (13) нечетный, поэтому функция определена для всех $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Рассмотрим знак знаменателя $\sqrt[13]{x^8}$. Выражение под корнем $x^8$ всегда положительно для $x \neq 0$ (четная степень). Корень нечетной степени из положительного числа положителен. Значит, знаменатель всегда положителен.

Следовательно, функция $f(x)$ положительна на всей своей области определения.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

9) Функция $f(x) = x^{-\frac{11}{13}} = \frac{1}{x^{11/13}} = \frac{1}{\sqrt[13]{x^{11}}}$. Показатель степени $p = -11/13$.

Область определения: из-за отрицательного показателя $x \neq 0$. Знаменатель дроби в показателе (13) нечетный, поэтому функция определена для всех $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Рассмотрим знак знаменателя $\sqrt[13]{x^{11}}$. Знак этого выражения совпадает со знаком $x^{11}$, который, в свою очередь, совпадает со знаком $x$ (так как 11 - нечетное число).

При $x > 0$ знаменатель положителен, и $f(x) > 0$.

При $x < 0$ знаменатель отрицателен, и $f(x) < 0$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.