Номер 150, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Анықталу облысы – бұл функцияның мағынасы бар болатын аргументтің ($x$-тің) барлық мүмкін мәндерінің жиыны. Дәрежелік функция $y = x^p$ үшін анықталу облысы $p$ дәреже көрсеткішіне байланысты болады.

1) $f(x) = x^5$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = 5$ – оң бүтін сан. Мұндай функциялар (көпмүшеліктер) барлық нақты сандар жиынында анықталған.
Демек, анықталу облысы – барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = x^{-7}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = -7$ – теріс бүтін сан. Функцияны $f(x) = \frac{1}{x^7}$ түрінде жазуға болады. Бөлшектің бөлімі нөлге тең бола алмайды, яғни $x^7 \neq 0$. Бұл шарт $x \neq 0$ болғанда орындалады.
Демек, анықталу облысы – нөлден басқа барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) $f(x) = x^{\frac{1}{5}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = \frac{1}{5}$ – оң бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \sqrt[5]{x}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (5) – тақ сан, сондықтан тақ дәрежелі түбір кез келген нақты сан үшін анықталған.
Демек, анықталу облысы – барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) $f(x) = x^{\frac{9}{10}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = \frac{9}{10}$ – оң бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \sqrt[10]{x^9}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (10) – жұп сан. Жұп дәрежелі түбірдің астындағы өрнек теріс емес болуы керек, яғни $x \ge 0$.
Демек, анықталу облысы – теріс емес нақты сандар.
Ответ: $D(f) = [0; +\infty)$.

5) $f(x) = x^{\frac{4}{7}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = \frac{4}{7}$ – оң бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \sqrt[7]{x^4}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (7) – тақ сан, сондықтан тақ дәрежелі түбір кез келген нақты сан үшін анықталған (себебі $x^4$ кез келген $x$ үшін теріс емес).
Демек, анықталу облысы – барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

6) $f(x) = x^{\frac{11}{13}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = \frac{11}{13}$ – оң бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \sqrt[13]{x^{11}}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (13) – тақ сан. Сондықтан функция барлық нақты сандар үшін анықталған.
Демек, анықталу облысы – барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

7) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = -\frac{3}{4}$ – теріс бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (4) – жұп сан, сондықтан түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек: $x^3 \ge 0$, бұл $x \ge 0$ дегенді білдіреді. Сонымен қатар, бөлшектің бөлімі нөлге тең бола алмайды, яғни $\sqrt[4]{x^3} \neq 0$, бұл $x \neq 0$ дегенді білдіреді. Екі шартты біріктірсек, $x > 0$.
Демек, анықталу облысы – оң нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (0; +\infty)$.

8) $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = -\frac{2}{3}$ – теріс бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (3) – тақ сан, сондықтан түбір кез келген $x$ үшін анықталған. Алайда, бөлшектің бөлімі нөлге тең бола алмайды: $\sqrt[3]{x^2} \neq 0$, бұл $x^2 \neq 0$ немесе $x \neq 0$ дегенді білдіреді.
Демек, анықталу облысы – нөлден басқа барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

9) $f(x) = x^{-\frac{5}{7}}$
Бұл функцияда дәреже көрсеткіші $p = -\frac{5}{7}$ – теріс бөлшек сан. Функцияны $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{5}{7}}} = \frac{1}{\sqrt[7]{x^5}}$ түрінде жазуға болады. Түбір көрсеткіші (7) – тақ сан, сондықтан түбір кез келген $x$ үшін анықталған. Бөлшектің бөлімі нөлге тең болмауы керек: $\sqrt[7]{x^5} \neq 0$, бұл $x^5 \neq 0$ немесе $x \neq 0$ дегенді білдіреді.
Демек, анықталу облысы – нөлден басқа барлық нақты сандар.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.