Номер 149, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решим данную систему неравенств. Для этого решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Решение первого неравенства

Рассмотрим неравенство $\sqrt{4x - 7} < x$. Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $

Применительно к нашему случаю, получаем:

$ \begin{cases} 4x - 7 \ge 0 \\ x > 0 \\ 4x - 7 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $4x - 7 \ge 0 \implies 4x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{4}$.

2) $x > 0$.

3) $4x - 7 < x^2 \implies x^2 - 4x + 7 > 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 7$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12$.
Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, парабола $y = x^2 - 4x + 7$ полностью лежит выше оси Ox, а значит, неравенство $x^2 - 4x + 7 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Пересечением решений $x \ge \frac{7}{4}$, $x > 0$ и $x \in (-\infty, +\infty)$ является промежуток $[\frac{7}{4}, +\infty)$.
Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [\frac{7}{4}, +\infty)$.

Решение второго неравенства

Рассмотрим неравенство $\sqrt{5 + x} + \sqrt{5 - x} > 4$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 5 + x \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 5 \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-5, 5]$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{5 + x} + \sqrt{5 - x})^2 > 4^2$

$(5 + x) + 2\sqrt{(5 + x)(5 - x)} + (5 - x) > 16$

$10 + 2\sqrt{25 - x^2} > 16$

$2\sqrt{25 - x^2} > 6$

$\sqrt{25 - x^2} > 3$

Снова возведем обе части в квадрат, так как они неотрицательны:

$25 - x^2 > 9$

$16 > x^2$

$x^2 < 16$

Это неравенство равносильно $-4 < x < 4$, то есть $x \in (-4, 4)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in (-4, 4) \cap [-5, 5]$.
Пересечением является интервал $(-4, 4)$.
Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-4, 4)$.

Нахождение решения системы

Для того чтобы найти решение исходной системы неравенств, необходимо найти пересечение решений первого и второго неравенств:

Решение первого неравенства: $x \in [\frac{7}{4}, +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-4, 4)$.

Пересечением этих двух множеств является промежуток $[\frac{7}{4}, 4)$.

Ответ: $x \in [\frac{7}{4}, 4)$.