Номер 143, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\sqrt{x-6} \cdot \sqrt{x-12} < x-1$

Для того чтобы левая часть неравенства была определена, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Это задает область допустимых значений (ОДЗ).
$\begin{cases} x-6 \ge 0 \\ x-12 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 6 \\ x \ge 12 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge 12$.

На ОДЗ ($x \ge 12$) левая часть неравенства $\sqrt{x-6} \cdot \sqrt{x-12}$ неотрицательна. Правая часть $x-1$ также положительна, так как $x \ge 12 \implies x-1 \ge 11 > 0$.
Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:$(\sqrt{x-6} \cdot \sqrt{x-12})^2 < (x-1)^2$
$(x-6)(x-12) < (x-1)^2$
$x^2 - 12x - 6x + 72 < x^2 - 2x + 1$
$x^2 - 18x + 72 < x^2 - 2x + 1$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$72 - 1 < 18x - 2x$
$71 < 16x$
$x > \frac{71}{16}$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge 12 \\ x > \frac{71}{16} \end{cases}$
Поскольку $\frac{71}{16} = 4\frac{7}{16}$, а $12 > 4\frac{7}{16}$, то пересечением этих двух условий является $x \ge 12$.

Ответ: $x \in [12, \infty)$.

2) $\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{1+x} < 0$

Выражение $\sqrt{a}$ по определению арифметического квадратного корня всегда неотрицательно (т.е. $\ge 0$).
Следовательно, в левой части неравенства стоит произведение двух неотрицательных чисел: $\sqrt{1-x} \ge 0$ и $\sqrt{1+x} \ge 0$.
Произведение двух неотрицательных чисел не может быть отрицательным числом. Оно всегда будет больше или равно нулю.
Таким образом, неравенство $\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{1+x} < 0$ не имеет решений в области действительных чисел.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

3) $\sqrt{x^2-x-2} < x$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе из трех неравенств:$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

Применительно к нашему случаю система выглядит так:$\begin{cases} x^2-x-2 \ge 0 \\ x > 0 \\ x^2-x-2 < x^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $x^2-x-2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2-x-2=0$. По теореме Виета, корни $x_1=2, x_2=-1$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.
2. $x > 0$.
3. $x^2-x-2 < x^2 \implies -x-2 < 0 \implies -x < 2 \implies x > -2$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:$\begin{cases} x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty) \\ x > 0 \\ x > -2 \end{cases}$
Пересечение $x>0$ и $x>-2$ дает $x>0$.
Осталось найти пересечение $(-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ и $(0, \infty)$.
Интервал $(0, \infty)$ не пересекается с $(-\infty, -1]$, но пересекается с $[2, \infty)$.
Итоговое решение: $x \in [2, \infty)$.

Ответ: $x \in [2, \infty)$.

4) $\sqrt{x^2-3x+2} > x+3$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:
Система A: $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ (корень больше отрицательного числа, достаточно, чтобы корень существовал)
Система Б: $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$ (обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат)

Сначала найдем ОДЗ для $f(x) = x^2-3x+2 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2-3x+2=0$ равны $x_1=1, x_2=2$. Ветви параболы направлены вверх, значит, $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

Решаем систему А:
$\begin{cases} x+3 < 0 \\ x^2-3x+2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty) \end{cases}$
Пересечение этих условий дает $x \in (-\infty, -3)$.

Решаем систему Б:
$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x^2-3x+2 > (x+3)^2 \end{cases}$
Решим второе неравенство:$x^2-3x+2 > x^2+6x+9$
$-3x-6x > 9-2$
$-9x > 7$
$x < -\frac{7}{9}$
Теперь система выглядит так:$\begin{cases} x \ge -3 \\ x < -\frac{7}{9} \end{cases}$
Решением этой системы является интервал $x \in [-3, -\frac{7}{9})$.
(Заметим, что для $x$ из этого интервала условие ОДЗ $x \in (-\infty, 1]$ выполняется автоматически).

Итоговое решение является объединением решений систем А и Б:
$(-\infty, -3) \cup [-3, -\frac{7}{9}) = (-\infty, -\frac{7}{9})$

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{7}{9})$.