Номер 139, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим неравенство $\sqrt{x+1} > 2$.

Поскольку правая часть неравенства - положительное число (2 > 0), обе части неравенства неотрицательны. Мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства. Это преобразование является равносильным, так как условие неотрицательности подкоренного выражения ($x+1 \ge 0$) будет автоматически выполнено, если $x+1 > 4$.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+1})^2 > 2^2$

$x+1 > 4$

Переносим 1 в правую часть:

$x > 4 - 1$

$x > 3$

Таким образом, решением неравенства является интервал $(3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{1-x} \le 4$.

Данное неравенство равносильно системе двух условий. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным (область допустимых значений, ОДЗ). Во-вторых, можно возвести в квадрат обе части неравенства, так как они обе неотрицательны.

$\begin{cases} 1-x \ge 0 \\ (\sqrt{1-x})^2 \le 4^2 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} -x \ge -1 \\ 1-x \le 16 \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 1 \\ -x \le 15 \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 1 \\ x \ge -15 \end{cases}$

Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство: $-15 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-15, 1]$.

3) Решим неравенство $\sqrt{3x+1} \ge 1$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат. Условие неотрицательности подкоренного выражения ($3x+1 \ge 0$) будет выполнено автоматически, поскольку $3x+1 \ge 1^2=1$, а $1>0$.

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{3x+1})^2 \ge 1^2$

$3x+1 \ge 1$

$3x \ge 1 - 1$

$3x \ge 0$

$x \ge 0$

Решением неравенства является промежуток $[0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{2x-1} < 3$.

Это неравенство также равносильно системе. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным (ОДЗ), и после возведения в квадрат обеих частей (что допустимо, так как они обе неотрицательны) неравенство должно сохраняться.

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ (\sqrt{2x-1})^2 < 3^2 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} 2x \ge 1 \\ 2x-1 < 9 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ 2x < 10 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 0.5 \\ x < 5 \end{cases}$

Найдем пересечение этих двух условий. Это все числа, которые больше или равны 0.5 и одновременно меньше 5. Это соответствует полуинтервалу $[0.5, 5)$.

Ответ: $x \in [0.5, 5)$.