Номер 133, страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное уравнение: $\sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}} + \sqrt[5]{\frac{5-x}{x-3}} = 2$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как корень пятой степени определен для любого действительного числа, единственным ограничением является то, что знаменатели дробей не должны быть равны нулю. Таким образом, $5-x \neq 0$ и $x-3 \neq 0$, что дает $x \neq 5$ и $x \neq 3$.
Введем замену. Пусть $y = \sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}}$. Тогда второй член уравнения является обратной величиной: $\sqrt[5]{\frac{5-x}{x-3}} = \sqrt[5]{(\frac{x-3}{5-x})^{-1}} = \frac{1}{\sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}}} = \frac{1}{y}$.
Уравнение принимает вид: $y + \frac{1}{y} = 2$.
Домножим обе части на $y$ (при этом $y \neq 0$, так как $x \neq 3$):
$y^2 + 1 = 2y$
$y^2 - 2y + 1 = 0$
$(y - 1)^2 = 0$
Отсюда $y = 1$.
Вернемся к исходной переменной:$\sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}} = 1$
Возведем обе части в пятую степень:$\frac{x-3}{5-x} = 1^5$
$\frac{x-3}{5-x} = 1$
$x-3 = 5-x$
$2x = 8$
$x = 4$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $x=4$ не равно 3 и не равно 5. Следовательно, корень подходит.
Ответ: $x=4$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}} + \sqrt{x+27-10\sqrt{x+2}} = 4$.
Найдем ОДЗ. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Выражения под внешними корнями также должны быть неотрицательными, что мы проверим после преобразований.
Преобразуем выражения под внешними корнями, выделив полные квадраты.
Для первого слагаемого: $x+3-2\sqrt{x+2} = (x+2) - 2\sqrt{x+2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x+2} - 1)^2$.
Для второго слагаемого: $x+27-10\sqrt{x+2} = (x+2) - 2\sqrt{x+2} \cdot 5 + 25 = (\sqrt{x+2} - 5)^2$.
Подставим преобразованные выражения в уравнение:$\sqrt{(\sqrt{x+2} - 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x+2} - 5)^2} = 4$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:$|\sqrt{x+2} - 1| + |\sqrt{x+2} - 5| = 4$.
Введем замену $y = \sqrt{x+2}$. Так как $x \ge -2$, то $y \ge 0$. Уравнение принимает вид:$|y - 1| + |y - 5| = 4$.
Это уравнение означает, что сумма расстояний от точки $y$ на числовой оси до точек 1 и 5 равна 4. Расстояние между точками 1 и 5 как раз равно $5-1=4$. Это возможно только в том случае, если точка $y$ находится на отрезке между 1 и 5.
Таким образом, $1 \le y \le 5$.
Вернемся к переменной $x$:$1 \le \sqrt{x+2} \le 5$.
Так как все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:$1^2 \le (\sqrt{x+2})^2 \le 5^2$
$1 \le x+2 \le 25$
Вычтем 2 из всех частей неравенства:$1-2 \le x \le 25-2$
$-1 \le x \le 23$.
Полученный интервал $[-1, 23]$ полностью входит в ОДЗ ($x \ge -2$).
Ответ: $x \in [-1; 23]$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt[5]{(5x+2)^3} - \frac{16}{\sqrt[5]{(5x+2)^3}} = 6$.
ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $\sqrt[5]{(5x+2)^3} \neq 0$, что означает $5x+2 \neq 0$, или $x \neq -0.4$.
Введем замену $y = \sqrt[5]{(5x+2)^3}$. Уравнение примет вид:$y - \frac{16}{y} = 6$.
Домножим на $y$ ($y \neq 0$ согласно ОДЗ):$y^2 - 16 = 6y$
$y^2 - 6y - 16 = 0$.
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, произведение равно -16. Корни: $y_1 = 8$ и $y_2 = -2$.
Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $y = 8$.
$\sqrt[5]{(5x+2)^3} = 8$.
Возведем обе части в пятую степень:$(5x+2)^3 = 8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$.
Извлечем кубический корень из обеих частей:$5x+2 = \sqrt[3]{2^{15}} = 2^{15/3} = 2^5 = 32$.
$5x = 30$
$x_1 = 6$.
Случай 2: $y = -2$.
$\sqrt[5]{(5x+2)^3} = -2$.
Возведем обе части в пятую степень:$(5x+2)^3 = (-2)^5 = -32$.
Извлечем кубический корень из обеих частей:$5x+2 = \sqrt[3]{-32} = \sqrt[3]{-8 \cdot 4} = -2\sqrt[3]{4}$.
$5x = -2 - 2\sqrt[3]{4}$
$x_2 = \frac{-2-2\sqrt[3]{4}}{5}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -0.4$).
Ответ: $x_1=6, x_2=\frac{-2-2\sqrt[3]{4}}{5}$.

4) Исходное уравнение: $\frac{(5-x)^{1.5} + (x-3)^{1.5}}{\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3}} = 2$.
ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательными.$5-x \ge 0 \implies x \le 5$.
$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
Объединяя условия, получаем $3 \le x \le 5$.
Также знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} \neq 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если оба они равны нулю, что невозможно ($x$ не может быть одновременно равен 3 и 5). Значит, знаменатель не равен нулю на всей ОДЗ.
Перепишем уравнение, используя степени: $\frac{(5-x)^{3/2} + (x-3)^{3/2}}{(5-x)^{1/2} + (x-3)^{1/2}} = 2$.
Введем замены: $a = (5-x)^{1/2} = \sqrt{5-x}$ и $b = (x-3)^{1/2} = \sqrt{x-3}$. Уравнение примет вид:$\frac{a^3 + b^3}{a+b} = 2$.
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:$\frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a+b} = 2$.
Так как $a+b \neq 0$, сокращаем дробь:$a^2 - ab + b^2 = 2$.
Вернемся к исходной переменной $x$:$a^2 = (\sqrt{5-x})^2 = 5-x$
$b^2 = (\sqrt{x-3})^2 = x-3$
$ab = \sqrt{5-x} \cdot \sqrt{x-3} = \sqrt{(5-x)(x-3)}$
Подставляем в уравнение:$(5-x) - \sqrt{(5-x)(x-3)} + (x-3) = 2$.
Упрощаем левую часть:$2 - \sqrt{(5-x)(x-3)} = 2$.
$-\sqrt{(5-x)(x-3)} = 0$.
$\sqrt{(5-x)(x-3)} = 0$.
Возводим в квадрат:$(5-x)(x-3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:$5-x = 0 \implies x_1 = 5$.
$x-3 = 0 \implies x_2 = 3$.
Оба корня, $x=3$ и $x=5$, принадлежат ОДЗ $[3, 5]$.
Ответ: $x_1=3, x_2=5$.