Страница 71 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{16 - \sqrt{x + 1}} = 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого система неравенств должна выполняться:
$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 16 - \sqrt{x + 1} \ge 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x \ge -1$.
Решим второе неравенство: $16 \ge \sqrt{x + 1}$. Так как обе части неотрицательны, можно возвести их в квадрат: $256 \ge x + 1$, что дает $x \le 255$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-1; 255]$.
Теперь решим уравнение. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:
$(\sqrt{16 - \sqrt{x + 1}})^2 = 1^2$
$16 - \sqrt{x + 1} = 1$
Выразим оставшийся корень:
$\sqrt{x + 1} = 16 - 1$
$\sqrt{x + 1} = 15$
Снова возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x + 1})^2 = 15^2$
$x + 1 = 225$
$x = 224$
Найденный корень $x=224$ принадлежит ОДЗ $[-1; 255]$, следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $224$.

2) Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{5 - \sqrt{x + 15}} = 1$.
Найдем ОДЗ. Кубический корень определен для любого действительного числа, поэтому единственное ограничение накладывает квадратный корень:
$x + 15 \ge 0$, откуда $x \ge -15$.
ОДЗ: $x \in [-15; +\infty)$.
Для решения возведем обе части уравнения в третью степень:
$(\sqrt[3]{5 - \sqrt{x + 15}})^3 = 1^3$
$5 - \sqrt{x + 15} = 1$
Выразим корень:
$\sqrt{x + 15} = 5 - 1$
$\sqrt{x + 15} = 4$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x + 15})^2 = 4^2$
$x + 15 = 16$
$x = 1$
Найденный корень $x=1$ принадлежит ОДЗ $[-15; +\infty)$, значит, он является решением.
Ответ: $1$.

3) Дано уравнение $\frac{x + 3}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{3x + 1}$.
Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным, а подкоренное выражение в правой части — неотрицательным:
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 3x + 1 \ge 0 \end{cases}$
Из первого неравенства $x > 1$. Из второго $x \ge -1/3$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.
При $x > 1$ знаменатель $\sqrt{x-1}$ положителен. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{x-1}$:
$x + 3 = \sqrt{3x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$
$x + 3 = \sqrt{(3x + 1)(x - 1)}$
$x + 3 = \sqrt{3x^2 - 3x + x - 1}$
$x + 3 = \sqrt{3x^2 - 2x - 1}$
В области допустимых значений ($x>1$) левая часть уравнения $x+3$ всегда положительна, поэтому можно без ограничений возвести обе части в квадрат:
$(x + 3)^2 = (\sqrt{3x^2 - 2x - 1})^2$
$x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2x^2 - 8x - 10 = 0$
Разделим обе части на 2:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
Найдем корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1=5$ и $x_2=-1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 > 1$.
$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 \ngtr 1$. Это посторонний корень.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $5$.

4) Дано уравнение $\frac{2x - 5}{\sqrt{x + 2}} = \sqrt{x + 2}$.
Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$x + 2 > 0$, откуда $x > -2$.
ОДЗ: $x \in (-2; +\infty)$.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $\sqrt{x + 2}$, который в ОДЗ всегда положителен:
$2x - 5 = \sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x + 2}$
$2x - 5 = (\sqrt{x + 2})^2$
$2x - 5 = x + 2$
Решим полученное линейное уравнение:
$2x - x = 2 + 5$
$x = 7$
Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x > -2$). $7 > -2$, условие выполняется. Значит, $x=7$ является решением.
Ответ: $7$.

1) $\frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} = x + 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю.
$x \ge 0$
$\sqrt{x} - 2 \neq 0 \implies \sqrt{x} \neq 2 \implies x \neq 4$
Следовательно, ОДЗ: $x \in [0, 4) \cup (4, \infty)$.
Разложим числитель левой части уравнения как разность квадратов: $x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} - 2} = x + 2$
Так как $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на $(\sqrt{x} - 2)$:
$\sqrt{x} + 2 = x + 2$
Вычтем 2 из обеих частей:
$\sqrt{x} = x$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x = x^2$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Проверим оба корня на соответствие ОДЗ. Оба корня $0$ и $1$ входят в область допустимых значений.

Ответ: $0; 1$.

2) $\frac{x - 9}{\sqrt{x} + 3} = 27 - x$

Определим ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x \ge 0$
Знаменатель $\sqrt{x} + 3$ всегда положителен, так как $\sqrt{x} \ge 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Разложим числитель левой части как разность квадратов: $x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$.
$\frac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} + 3} = 27 - x$
Сократим дробь на $(\sqrt{x} + 3)$:
$\sqrt{x} - 3 = 27 - x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение относительно $\sqrt{x}$:
$x + \sqrt{x} - 3 - 27 = 0$
$x + \sqrt{x} - 30 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
$t^2 + t - 30 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение $-30$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -6$.
Так как $t \ge 0$, корень $t_2 = -6$ является посторонним.
Остается $t = 5$.
Вернемся к исходной переменной:
$\sqrt{x} = 5$
$x = 25$
Корень $x = 25$ удовлетворяет ОДЗ ($25 \ge 0$).

Ответ: $25$.

3) $\frac{x + 1}{\sqrt{x - 1}} = (2x - 1)^{\frac{1}{2}}$

Перепишем уравнение в виде с корнями: $\frac{x + 1}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{2x - 1}$.
Определим ОДЗ:
$x - 1 > 0 \implies x > 1$ (знаменатель не может быть равен нулю)
$2x - 1 \ge 0 \implies x \ge 0.5$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.
Умножим обе части на $\sqrt{x - 1}$:
$x + 1 = \sqrt{2x - 1} \cdot \sqrt{x - 1}$
$x + 1 = \sqrt{(2x - 1)(x - 1)}$
$x + 1 = \sqrt{2x^2 - 2x - x + 1}$
$x + 1 = \sqrt{2x^2 - 3x + 1}$
Для $x > 1$ левая часть $x + 1$ всегда положительна, поэтому можно возвести обе части в квадрат:
$(x + 1)^2 = 2x^2 - 3x + 1$
$x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - 3x + 1$
$x^2 - 5x = 0$
$x(x - 5) = 0$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > 1$).
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0 \ngtr 1$.
$x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $5 > 1$.

Ответ: $5$.

4) $\frac{x + 6}{(x - 6)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{3x + 2}$

Перепишем уравнение в виде с корнями: $\frac{x + 6}{\sqrt{x - 6}} = \sqrt{3x + 2}$.
Определим ОДЗ:
$x - 6 > 0 \implies x > 6$
$3x + 2 \ge 0 \implies x \ge -\frac{2}{3}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 6$.
Умножим обе части на $\sqrt{x - 6}$:
$x + 6 = \sqrt{3x + 2} \cdot \sqrt{x - 6}$
$x + 6 = \sqrt{(3x + 2)(x - 6)}$
$x + 6 = \sqrt{3x^2 - 18x + 2x - 12}$
$x + 6 = \sqrt{3x^2 - 16x - 12}$
При $x > 6$ левая часть $x + 6$ всегда положительна. Возведем обе части в квадрат:
$(x + 6)^2 = 3x^2 - 16x - 12$
$x^2 + 12x + 36 = 3x^2 - 16x - 12$
$2x^2 - 28x - 48 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 - 14x - 24 = 0$
Решим квадратное уравнение по формуле корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 196 + 96 = 292$
$\sqrt{D} = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$
$x = \frac{14 \pm 2\sqrt{73}}{2} = 7 \pm \sqrt{73}$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 7 + \sqrt{73}$ и $x_2 = 7 - \sqrt{73}$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > 6$).
$x_1 = 7 + \sqrt{73}$. Так как $\sqrt{49} < \sqrt{73} < \sqrt{81}$, то $7 < \sqrt{73} < 9$. Значит, $7 + \sqrt{73} > 7+7 = 14$, что больше 6. Этот корень подходит.
$x_2 = 7 - \sqrt{73}$. Так как $\sqrt{73} > \sqrt{49} = 7$, то $7 - \sqrt{73} < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 6$.

Ответ: $7 + \sqrt{73}$.

1) Дано уравнение $\sqrt{x^2+32} - 2\sqrt[4]{x^2+32} = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x^2+32 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любых действительных чисел $x$, так как $x^2 \ge 0$.
Для решения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[4]{x^2+32}$. Поскольку корень четной степени не может быть отрицательным, должно выполняться условие $y \ge 0$.
Тогда $\sqrt{x^2+32}$ можно выразить как $y^2$, так как $(\sqrt[4]{a})^2 = \sqrt{a}$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:$y^2 - 2y = 3$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$y^2 - 2y - 3 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-3$, а их сумма равна $2$. Корнями являются $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.
Согласно условию замены $y \ge 0$, корень $y_2 = -1$ является посторонним и должен быть отброшен.
Таким образом, единственное подходящее решение для $y$ это $y = 3$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:$\sqrt[4]{x^2+32} = 3$
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:$(\sqrt[4]{x^2+32})^4 = 3^4$
$x^2 + 32 = 81$
$x^2 = 81 - 32$
$x^2 = 49$
Отсюда находим два возможных значения для $x$:$x = \pm \sqrt{49}$, то есть $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Проверка: для $x = \pm 7$, $x^2 = 49$. Подставляя в исходное уравнение, получаем $\sqrt{49+32} - 2\sqrt[4]{49+32} = \sqrt{81} - 2\sqrt[4]{81} = 9 - 2 \cdot 3 = 3$. Равенство верно.
Ответ: $-7; 7$.

2) Дано уравнение $3\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[3]{x^{-1}} = 2$.
ОДЗ: $x \neq 0$, так как $x$ находится в знаменателе выражения $x^{-1} = \frac{1}{x}$.
Преобразуем уравнение: $3\sqrt[3]{x} - 5\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 2$.
Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Так как $x \neq 0$, то и $y \neq 0$.
Уравнение принимает вид:$3y - \frac{5}{y} = 2$
Умножим все члены уравнения на $y$, чтобы избавиться от знаменателя:$3y^2 - 5 = 2y$
$3y^2 - 2y - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-2)^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
Корни уравнения для $y$:$y_1 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
$y_2 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
Теперь выполним обратную замену $x = y^3$:Для $y_1 = \frac{5}{3}$: $x_1 = (\frac{5}{3})^3 = \frac{125}{27}$.
Для $y_2 = -1$: $x_2 = (-1)^3 = -1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Проверим их.
Для $x_1 = 125/27$: $3\sqrt[3]{125/27} - 5\sqrt[3]{27/125} = 3 \cdot (5/3) - 5 \cdot (3/5) = 5 - 3 = 2$. Верно.
Для $x_2 = -1$: $3\sqrt[3]{-1} - 5\sqrt[3]{-1} = 3(-1) - 5(-1) = -3+5=2$. Верно.
Ответ: $-1; \frac{125}{27}$.

3) Дано уравнение $\sqrt{3x^2+13} - \sqrt[4]{3x^2+13} = 2$.
ОДЗ: $3x^2+13 \ge 0$, что выполняется для любого действительного $x$, так как $3x^2 \ge 0$.
Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt[4]{3x^2+13}$. Условие для $y$: $y \ge 0$.
Тогда $\sqrt{3x^2+13} = y^2$.
Уравнение принимает вид:$y^2 - y = 2$
$y^2 - y - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.
Так как $y \ge 0$, корень $y_2 = -1$ является посторонним.
Единственное решение для $y$ это $y=2$.
Вернемся к переменной $x$:$\sqrt[4]{3x^2+13} = 2$
Возведем обе части в четвертую степень:$3x^2 + 13 = 2^4$
$3x^2 + 13 = 16$
$3x^2 = 3$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$.
Проверка: для $x = \pm 1$, $x^2 = 1$. $\sqrt{3(1)+13} - \sqrt[4]{3(1)+13} = \sqrt{16} - \sqrt[4]{16} = 4-2=2$. Равенство верно.
Ответ: $-1; 1$.

4) Дано уравнение $\sqrt{5+\sqrt[3]{x}} + \sqrt{5-\sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{x}$.
ОДЗ: выражения под квадратными корнями должны быть неотрицательными.$5+\sqrt[3]{x} \ge 0 \implies \sqrt[3]{x} \ge -5 \implies x \ge -125$.
$5-\sqrt[3]{x} \ge 0 \implies \sqrt[3]{x} \le 5 \implies x \le 125$.
Сумма квадратных корней в левой части неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной: $\sqrt[3]{x} \ge 0 \implies x \ge 0$.
Итоговая ОДЗ: $0 \le x \le 125$.
Сделаем замену $y = \sqrt[3]{x}$. Из ОДЗ для $x$ следует, что $0 \le y \le 5$.
Уравнение становится: $\sqrt{5+y} + \sqrt{5-y} = y$.
Возведем обе части в квадрат:$(5+y) + 2\sqrt{(5+y)(5-y)} + (5-y) = y^2$
$10 + 2\sqrt{25-y^2} = y^2$
$2\sqrt{25-y^2} = y^2 - 10$.
Левая часть неотрицательна, значит $y^2 - 10 \ge 0 \implies y^2 \ge 10 \implies y \ge \sqrt{10}$ (так как $y \ge 0$).
Новое ограничение на $y$: $\sqrt{10} \le y \le 5$.
Снова возведем в квадрат:$4(25-y^2) = (y^2-10)^2$
$100 - 4y^2 = y^4 - 20y^2 + 100$
$y^4 - 16y^2 = 0$
$y^2(y^2 - 16) = 0$.
Возможные решения: $y^2 = 0 \implies y=0$ или $y^2 = 16 \implies y = \pm 4$.
Проверим эти значения с учетом ограничения $\sqrt{10} \le y \le 5$:$y=0$ не подходит ($\sqrt{10}>0$).$y=-4$ не подходит (отрицательное).$y=4$ подходит, так как $\sqrt{10} \approx 3.16$, и $\sqrt{10} < 4 < 5$.
Единственное решение для $y$ это $y=4$.
Выполним обратную замену: $\sqrt[3]{x} = 4 \implies x = 4^3 = 64$.
Этот корень $x=64$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \le 64 \le 125$).Проверка: $\sqrt{5+\sqrt[3]{64}} + \sqrt{5-\sqrt[3]{64}} = \sqrt{5+4} + \sqrt{5-4} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3+1 = 4$. Правая часть: $\sqrt[3]{64} = 4$. $4=4$.
Ответ: $64$.

1)Дана система уравнений:$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4 \\x + y = 28\end{cases}$
Для решения системы введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$.
Система уравнений в новых переменных будет выглядеть так:$\begin{cases}a + b = 4 \\a^3 + b^3 = 28\end{cases}$
Воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.
Подставим в эту формулу известные значения из нашей системы:
$4^3 = 28 + 3ab \cdot 4$
$64 = 28 + 12ab$
$12ab = 64 - 28$
$12ab = 36$
$ab = 3$
Теперь мы имеем более простую систему для нахождения $a$ и $b$:$\begin{cases}a + b = 4 \\ab = 3\end{cases}$
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.
Найдем корни этого уравнения: $(t-1)(t-3) = 0$, следовательно, $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.
Это дает нам два возможных набора значений для $a$ и $b$:
1. $a = 1$, $b = 3$
2. $a = 3$, $b = 1$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.
В первом случае:
$x = a^3 = 1^3 = 1$
$y = b^3 = 3^3 = 27$
Во втором случае:
$x = a^3 = 3^3 = 27$
$y = b^3 = 1^3 = 1$
Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.
Ответ: $(1, 27)$, $(27, 1)$.

2)Дана система уравнений:$\begin{cases}x + y = 72 \\\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 6\end{cases}$
Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Отсюда $x = a^3$ и $y = b^3$.
Запишем систему в новых переменных:$\begin{cases}a^3 + b^3 = 72 \\a + b = 6\end{cases}$
Используем тождество $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.
Подставим известные значения из системы:
$6^3 = 72 + 3ab \cdot 6$
$216 = 72 + 18ab$
$18ab = 216 - 72$
$18ab = 144$
$ab = 8$
Мы получили новую систему для $a$ и $b$:$\begin{cases}a + b = 6 \\ab = 8\end{cases}$
По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.
Найдем корни этого уравнения: $(t-2)(t-4) = 0$, следовательно, $t_1 = 2$, $t_2 = 4$.
Таким образом, возможны два случая:
1. $a = 2$, $b = 4$
2. $a = 4$, $b = 2$
Выполним обратную замену для нахождения $x$ и $y$.
В первом случае:
$x = a^3 = 2^3 = 8$
$y = b^3 = 4^3 = 64$
Во втором случае:
$x = a^3 = 4^3 = 64$
$y = b^3 = 2^3 = 8$
Система имеет два решения.
Ответ: $(8, 64)$, $(64, 8)$.

1)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = 2 \\ xy = 27 \end{cases}$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Тогда первое уравнение системы примет вид: $a - b = 2$.

Из второго уравнения системы $xy = 27$ следует, что $\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{27}$, что эквивалентно $\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} = 3$, или $ab = 3$.

Таким образом, мы получаем новую, более простую систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a - b = 2 \\ ab = 3 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$: $a = 2 + b$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $(2+b)b = 3$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $b^2 + 2b - 3 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $b_1 = 1$ и $b_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $a$ для каждого корня $b$:

Если $b_1 = 1$, то $a_1 = 2 + b_1 = 2 + 1 = 3$.

Если $b_2 = -3$, то $a_2 = 2 + b_2 = 2 + (-3) = -1$.

Мы получили две пары решений для $(a, b)$: $(3, 1)$ и $(-1, -3)$.

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$, используя соотношения $x = a^3$ и $y = b^3$.

Случай 1: Пара $(a, b) = (3, 1)$.

$x = a^3 = 3^3 = 27$.

$y = b^3 = 1^3 = 1$.

Проверим это решение $(27, 1)$ в исходной системе: $\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{1} = 3 - 1 = 2$ и $27 \cdot 1 = 27$. Решение верное.

Случай 2: Пара $(a, b) = (-1, -3)$.

$x = a^3 = (-1)^3 = -1$.

$y = b^3 = (-3)^3 = -27$.

Проверим это решение $(-1, -27)$ в исходной системе: $\sqrt[3]{-1} - \sqrt[3]{-27} = -1 - (-3) = -1+3=2$ и $(-1) \cdot (-27) = 27$. Решение верное.

Ответ: $(27, 1), (-1, -27)$.

2)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 10 \\ \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} = 4 \end{cases}$.

Прежде всего, определим область допустимых значений. Поскольку в уравнениях присутствуют корни четной степени, переменные $x$ и $y$ должны быть неотрицательными: $x \ge 0, y \ge 0$.

Для упрощения системы введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$. Из ОДЗ следует, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда второе уравнение системы запишется в виде: $a + b = 4$.

Выразим члены первого уравнения через новые переменные: $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2 = a^2$ и $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2 = b^2$.

Первое уравнение примет вид: $a^2 + b^2 = 10$.

Получаем систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 10 \\ a + b = 4 \end{cases}$

Для решения этой системы возведем второе уравнение в квадрат: $(a+b)^2 = 4^2$, что дает $a^2 + 2ab + b^2 = 16$.

Мы знаем, что $a^2 + b^2 = 10$. Подставим это значение в полученное уравнение: $10 + 2ab = 16$.

Отсюда находим $2ab = 16 - 10 = 6$, и, следовательно, $ab = 3$.

Теперь система свелась к более простому виду:

$\begin{cases} a + b = 4 \\ ab = 3 \end{cases}$

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Это означает, что для пары $(a, b)$ есть два возможных варианта: $(1, 3)$ и $(3, 1)$. Оба варианта удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$, используя $x = a^4$ и $y = b^4$.

Случай 1: Пара $(a, b) = (1, 3)$.

$x = a^4 = 1^4 = 1$.

$y = b^4 = 3^4 = 81$.

Проверим решение $(1, 81)$: $\sqrt{1} + \sqrt{81} = 1 + 9 = 10$ и $\sqrt[4]{1} + \sqrt[4]{81} = 1 + 3 = 4$. Решение верное.

Случай 2: Пара $(a, b) = (3, 1)$.

$x = a^4 = 3^4 = 81$.

$y = b^4 = 1^4 = 1$.

Проверим решение $(81, 1)$: $\sqrt{81} + \sqrt{1} = 9 + 1 = 10$ и $\sqrt[4]{81} + \sqrt[4]{1} = 3 + 1 = 4$. Решение верное.

Ответ: $(1, 81), (81, 1)$.

1) $\sqrt{x+6} + \sqrt{x+1} = \sqrt{7x+4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

$7x+4 \ge 0 \implies x \ge -4/7$

Пересечением этих условий является $x \ge -4/7$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+6} + \sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{7x+4})^2$

$(x+6) + 2\sqrt{(x+6)(x+1)} + (x+1) = 7x+4$

$2x + 7 + 2\sqrt{x^2+7x+6} = 7x+4$

Уединим корень:

$2\sqrt{x^2+7x+6} = 5x-3$

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как левая часть неотрицательна. $5x-3 \ge 0$, что означает $x \ge 3/5$. Это условие более сильное, чем ОДЗ $x \ge -4/7$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{x^2+7x+6})^2 = (5x-3)^2$

$4(x^2+7x+6) = 25x^2 - 30x + 9$

$4x^2 + 28x + 24 = 25x^2 - 30x + 9$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$21x^2 - 58x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-58)^2 - 4(21)(-15) = 3364 + 1260 = 4624 = 68^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 \pm 68}{42}$

$x_1 = \frac{58+68}{42} = \frac{126}{42} = 3$

$x_2 = \frac{58-68}{42} = \frac{-10}{42} = -\frac{5}{21}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 3/5$.

$x_1 = 3$: $3 \ge 3/5$. Корень подходит.

$x_2 = -5/21$: $-5/21 \approx -0.24$, а $3/5 = 0.6$. Условие $-5/21 \ge 3/5$ не выполняется. Этот корень посторонний.

Выполним проверку для $x=3$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3+6} + \sqrt{3+1} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3+2=5$

$\sqrt{7(3)+4} = \sqrt{21+4} = \sqrt{25}=5$

$5 = 5$. Решение верное.

Ответ: $x=3$.

2) $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} - \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 56$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Преобразуем выражения, используя свойства степеней:

$\sqrt{x\sqrt[5]{x}} = \sqrt{x \cdot x^{1/5}} = \sqrt{x^{6/5}} = (x^{6/5})^{1/2} = x^{3/5}$

$\sqrt[5]{x\sqrt{x}} = \sqrt[5]{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt[5]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/5} = x^{3/10}$

Уравнение принимает вид:

$x^{3/5} - x^{3/10} = 56$

Сделаем замену. Пусть $y = x^{3/10}$. Тогда $y^2 = (x^{3/10})^2 = x^{6/10} = x^{3/5}$. Так как при $x \ge 0$, имеем $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - y - 56 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения:

$y_1 = 8$

$y_2 = -7$

Так как $y \ge 0$, корень $y_2 = -7$ является посторонним.

Вернемся к замене с $y=8$:

$x^{3/10} = 8$

Возведем обе части в степень $10/3$:

$x = 8^{10/3} = (2^3)^{10/3} = 2^{3 \cdot 10/3} = 2^{10} = 1024$

Проверка: $x=1024 > 0$, удовлетворяет ОДЗ.

$1024^{3/5} - 1024^{3/10} = (2^{10})^{3/5} - (2^{10})^{3/10} = 2^6 - 2^3 = 64 - 8 = 56$.

$56=56$. Решение верное.

Ответ: $x=1024$.

3) $\sqrt[3]{x+2} - \sqrt[3]{x+17} = 1$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$, так как корень кубический определен для любого действительного числа.

Введем замены: пусть $a = \sqrt[3]{x+2}$ и $b = \sqrt[3]{x+17}$.

Тогда исходное уравнение примет вид: $a - b = 1$.

Возведем замены в куб:

$a^3 = x+2$

$b^3 = x+17$

Вычтем из первого выражения второе: $a^3 - b^3 = (x+2) - (x+17) = -15$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} a - b = 1 \\ a^3 - b^3 = -15 \end{cases}$

Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Подставим известные значения: $-15 = 1 \cdot (a^2+ab+b^2)$, откуда $a^2+ab+b^2 = -15$.

Из первого уравнения системы выразим $a = b+1$ и подставим в полученное выражение:

$(b+1)^2 + (b+1)b + b^2 = -15$

$(b^2+2b+1) + (b^2+b) + b^2 = -15$

$3b^2+3b+1 = -15$

$3b^2+3b+16 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения относительно $b$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 9 - 192 = -183$

Так как дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней для $b$.

Поскольку $b = \sqrt[3]{x+17}$ должно быть действительным числом при действительном $x$, это означает, что исходное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

4) $\sqrt[3]{24+\sqrt{x}} - \sqrt[3]{5+\sqrt{x}} = 1$

ОДЗ: подкоренное выражение $\sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$.

Это уравнение похоже на предыдущее. Применим тот же метод. Введем замены:

Пусть $a = \sqrt[3]{24+\sqrt{x}}$ и $b = \sqrt[3]{5+\sqrt{x}}$.

Уравнение принимает вид: $a - b = 1$.

Возведем замены в куб:

$a^3 = 24+\sqrt{x}$

$b^3 = 5+\sqrt{x}$

Вычтем второе из первого: $a^3 - b^3 = (24+\sqrt{x}) - (5+\sqrt{x}) = 19$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} a - b = 1 \\ a^3 - b^3 = 19 \end{cases}$

Из формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ следует:

$19 = 1 \cdot (a^2+ab+b^2)$, то есть $a^2+ab+b^2 = 19$.

Подставим $a = b+1$ из первого уравнения системы:

$(b+1)^2 + (b+1)b + b^2 = 19$

$(b^2+2b+1) + (b^2+b) + b^2 = 19$

$3b^2+3b+1 = 19$

$3b^2+3b-18 = 0$

Разделим уравнение на 3: $b^2+b-6 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $b_1=2$ и $b_2=-3$.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $b = 2$.

Возвращаемся к замене: $\sqrt[3]{5+\sqrt{x}} = 2$.

Возводим в куб: $5+\sqrt{x} = 2^3 = 8$.

$\sqrt{x} = 3$.

Возводим в квадрат: $x=9$.

Случай 2: $b = -3$.

Возвращаемся к замене: $\sqrt[3]{5+\sqrt{x}} = -3$.

Возводим в куб: $5+\sqrt{x} = (-3)^3 = -27$.

$\sqrt{x} = -32$. Это уравнение не имеет решений, так как квадратный корень не может быть отрицательным.

Единственный кандидат в решения - $x=9$. Он удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$).

Проверка: подставим $x=9$ в исходное уравнение.

$\sqrt[3]{24+\sqrt{9}} - \sqrt[3]{5+\sqrt{9}} = \sqrt[3]{24+3} - \sqrt[3]{5+3} = \sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{8} = 3-2 = 1$.

$1=1$. Решение верное.

Ответ: $x=9$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}} + \sqrt[5]{\frac{5-x}{x-3}} = 2$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как корень пятой степени определен для любого действительного числа, единственным ограничением является то, что знаменатели дробей не должны быть равны нулю. Таким образом, $5-x \neq 0$ и $x-3 \neq 0$, что дает $x \neq 5$ и $x \neq 3$.
Введем замену. Пусть $y = \sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}}$. Тогда второй член уравнения является обратной величиной: $\sqrt[5]{\frac{5-x}{x-3}} = \sqrt[5]{(\frac{x-3}{5-x})^{-1}} = \frac{1}{\sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}}} = \frac{1}{y}$.
Уравнение принимает вид: $y + \frac{1}{y} = 2$.
Домножим обе части на $y$ (при этом $y \neq 0$, так как $x \neq 3$):
$y^2 + 1 = 2y$
$y^2 - 2y + 1 = 0$
$(y - 1)^2 = 0$
Отсюда $y = 1$.
Вернемся к исходной переменной:$\sqrt[5]{\frac{x-3}{5-x}} = 1$
Возведем обе части в пятую степень:$\frac{x-3}{5-x} = 1^5$
$\frac{x-3}{5-x} = 1$
$x-3 = 5-x$
$2x = 8$
$x = 4$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $x=4$ не равно 3 и не равно 5. Следовательно, корень подходит.
Ответ: $x=4$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}} + \sqrt{x+27-10\sqrt{x+2}} = 4$.
Найдем ОДЗ. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Выражения под внешними корнями также должны быть неотрицательными, что мы проверим после преобразований.
Преобразуем выражения под внешними корнями, выделив полные квадраты.
Для первого слагаемого: $x+3-2\sqrt{x+2} = (x+2) - 2\sqrt{x+2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x+2} - 1)^2$.
Для второго слагаемого: $x+27-10\sqrt{x+2} = (x+2) - 2\sqrt{x+2} \cdot 5 + 25 = (\sqrt{x+2} - 5)^2$.
Подставим преобразованные выражения в уравнение:$\sqrt{(\sqrt{x+2} - 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x+2} - 5)^2} = 4$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:$|\sqrt{x+2} - 1| + |\sqrt{x+2} - 5| = 4$.
Введем замену $y = \sqrt{x+2}$. Так как $x \ge -2$, то $y \ge 0$. Уравнение принимает вид:$|y - 1| + |y - 5| = 4$.
Это уравнение означает, что сумма расстояний от точки $y$ на числовой оси до точек 1 и 5 равна 4. Расстояние между точками 1 и 5 как раз равно $5-1=4$. Это возможно только в том случае, если точка $y$ находится на отрезке между 1 и 5.
Таким образом, $1 \le y \le 5$.
Вернемся к переменной $x$:$1 \le \sqrt{x+2} \le 5$.
Так как все части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:$1^2 \le (\sqrt{x+2})^2 \le 5^2$
$1 \le x+2 \le 25$
Вычтем 2 из всех частей неравенства:$1-2 \le x \le 25-2$
$-1 \le x \le 23$.
Полученный интервал $[-1, 23]$ полностью входит в ОДЗ ($x \ge -2$).
Ответ: $x \in [-1; 23]$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt[5]{(5x+2)^3} - \frac{16}{\sqrt[5]{(5x+2)^3}} = 6$.
ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $\sqrt[5]{(5x+2)^3} \neq 0$, что означает $5x+2 \neq 0$, или $x \neq -0.4$.
Введем замену $y = \sqrt[5]{(5x+2)^3}$. Уравнение примет вид:$y - \frac{16}{y} = 6$.
Домножим на $y$ ($y \neq 0$ согласно ОДЗ):$y^2 - 16 = 6y$
$y^2 - 6y - 16 = 0$.
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, произведение равно -16. Корни: $y_1 = 8$ и $y_2 = -2$.
Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $y = 8$.
$\sqrt[5]{(5x+2)^3} = 8$.
Возведем обе части в пятую степень:$(5x+2)^3 = 8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$.
Извлечем кубический корень из обеих частей:$5x+2 = \sqrt[3]{2^{15}} = 2^{15/3} = 2^5 = 32$.
$5x = 30$
$x_1 = 6$.
Случай 2: $y = -2$.
$\sqrt[5]{(5x+2)^3} = -2$.
Возведем обе части в пятую степень:$(5x+2)^3 = (-2)^5 = -32$.
Извлечем кубический корень из обеих частей:$5x+2 = \sqrt[3]{-32} = \sqrt[3]{-8 \cdot 4} = -2\sqrt[3]{4}$.
$5x = -2 - 2\sqrt[3]{4}$
$x_2 = \frac{-2-2\sqrt[3]{4}}{5}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -0.4$).
Ответ: $x_1=6, x_2=\frac{-2-2\sqrt[3]{4}}{5}$.

4) Исходное уравнение: $\frac{(5-x)^{1.5} + (x-3)^{1.5}}{\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3}} = 2$.
ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательными.$5-x \ge 0 \implies x \le 5$.
$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
Объединяя условия, получаем $3 \le x \le 5$.
Также знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} \neq 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если оба они равны нулю, что невозможно ($x$ не может быть одновременно равен 3 и 5). Значит, знаменатель не равен нулю на всей ОДЗ.
Перепишем уравнение, используя степени: $\frac{(5-x)^{3/2} + (x-3)^{3/2}}{(5-x)^{1/2} + (x-3)^{1/2}} = 2$.
Введем замены: $a = (5-x)^{1/2} = \sqrt{5-x}$ и $b = (x-3)^{1/2} = \sqrt{x-3}$. Уравнение примет вид:$\frac{a^3 + b^3}{a+b} = 2$.
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:$\frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a+b} = 2$.
Так как $a+b \neq 0$, сокращаем дробь:$a^2 - ab + b^2 = 2$.
Вернемся к исходной переменной $x$:$a^2 = (\sqrt{5-x})^2 = 5-x$
$b^2 = (\sqrt{x-3})^2 = x-3$
$ab = \sqrt{5-x} \cdot \sqrt{x-3} = \sqrt{(5-x)(x-3)}$
Подставляем в уравнение:$(5-x) - \sqrt{(5-x)(x-3)} + (x-3) = 2$.
Упрощаем левую часть:$2 - \sqrt{(5-x)(x-3)} = 2$.
$-\sqrt{(5-x)(x-3)} = 0$.
$\sqrt{(5-x)(x-3)} = 0$.
Возводим в квадрат:$(5-x)(x-3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:$5-x = 0 \implies x_1 = 5$.
$x-3 = 0 \implies x_2 = 3$.
Оба корня, $x=3$ и $x=5$, принадлежат ОДЗ $[3, 5]$.
Ответ: $x_1=3, x_2=5$.

1) Дано уравнение $\sqrt{x-9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x-9}}$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен равняться нулю. Это приводит к системе условий:
$x - 9 \ge 0 \implies x \ge 9$
$x \ge 0$
$\sqrt{x-9} \ne 0 \implies x - 9 \ne 0 \implies x \ne 9$
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 9$.
Теперь решим уравнение. Умножим обе части на $\sqrt{x-9}$, чтобы избавиться от дроби:
$(\sqrt{x-9}) \cdot \sqrt{x-9} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{x-9} = 36$
$x - 9 + \sqrt{x(x-9)} = 36$
Изолируем оставшийся корень:
$\sqrt{x^2 - 9x} = 36 - (x - 9)$
$\sqrt{x^2 - 9x} = 45 - x$
Прежде чем возводить в квадрат, заметим, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным: $45 - x \ge 0$, откуда $x \le 45$.
Возводим обе части в квадрат:
$x^2 - 9x = (45 - x)^2$
$x^2 - 9x = 2025 - 90x + x^2$
$-9x = 2025 - 90x$
$81x = 2025$
$x = \frac{2025}{81} = 25$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=25$ нашим ограничениям.
1. ОДЗ: $x > 9$. $25 > 9$ (верно).
2. Условие возведения в квадрат: $x \le 45$. $25 \le 45$ (верно).
Корень подходит.
Ответ: $25$.

2) Дано уравнение $\sqrt{9-5x} = \sqrt{3-x} + \frac{6}{\sqrt{3-x}}$.
Определим ОДЗ.
$9 - 5x \ge 0 \implies 9 \ge 5x \implies x \le 1.8$
$3 - x > 0 \implies x < 3$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \le 1.8$.
Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3-x}$:
$\sqrt{9-5x} \cdot \sqrt{3-x} = (\sqrt{3-x})^2 + 6$
$\sqrt{(9-5x)(3-x)} = 3 - x + 6$
$\sqrt{27 - 9x - 15x + 5x^2} = 9 - x$
$\sqrt{5x^2 - 24x + 27} = 9 - x$
Правая часть должна быть неотрицательной: $9 - x \ge 0 \implies x \le 9$. Это условие выполняется в рамках нашего ОДЗ ($x \le 1.8$).
Возводим обе части в квадрат:
$5x^2 - 24x + 27 = (9-x)^2$
$5x^2 - 24x + 27 = 81 - 18x + x^2$
$4x^2 - 6x - 54 = 0$
Разделим на 2 для упрощения: $2x^2 - 3x - 27 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 15}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 15}{4} = \frac{-12}{4} = -3$
Проверим корни по ОДЗ ($x \le 1.8$).
$x_1 = 4.5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $4.5 > 1.8$. Это посторонний корень.
$x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 \le 1.8$.
Ответ: $-3$.

3) Дано уравнение $\sqrt{2+x} + \sqrt{x} = \frac{4}{\sqrt{2+x}}$.
Определим ОДЗ.
$2 + x > 0 \implies x > -2$
$x \ge 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.
Умножим обе части уравнения на $\sqrt{2+x}$:
$(\sqrt{2+x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{2+x} = 4$
$2 + x + \sqrt{x(2+x)} = 4$
Изолируем корень:
$\sqrt{x^2 + 2x} = 4 - (2+x) = 2 - x$
Правая часть должна быть неотрицательной: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.
Возводим в квадрат:
$x^2 + 2x = (2-x)^2$
$x^2 + 2x = 4 - 4x + x^2$
$2x = 4 - 4x$
$6x = 4$
$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Проверим корень. $x = \frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$) и условию $x \le 2$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

4) Дано уравнение $\frac{\sqrt{4x+20}}{4+\sqrt{x}} = \frac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$.
Определим ОДЗ.
$4x+20 \ge 0 \implies 4x \ge -20 \implies x \ge -5$
$x > 0$ (так как $\sqrt{x}$ в знаменателе)
$4+\sqrt{x} \ne 0$ (это условие выполняется всегда при $x \ge 0$)
Общее ОДЗ: $x > 0$.
Применим правило пропорции (перекрестное умножение):
$\sqrt{4x+20} \cdot \sqrt{x} = (4-\sqrt{x})(4+\sqrt{x})$
В правой части видим формулу разности квадратов:
$\sqrt{x(4x+20)} = 4^2 - (\sqrt{x})^2$
$\sqrt{4x^2+20x} = 16 - x$
Вынесем 4 из-под корня слева: $\sqrt{4(x^2+5x)} = 16 - x \implies 2\sqrt{x^2+5x} = 16 - x$.
Правая часть должна быть неотрицательной: $16 - x \ge 0 \implies x \le 16$.
Возводим обе части в квадрат:
$(2\sqrt{x^2+5x})^2 = (16-x)^2$
$4(x^2+5x) = 256 - 32x + x^2$
$4x^2 + 20x = 256 - 32x + x^2$
$3x^2 + 52x - 256 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 52^2 - 4(3)(-256) = 2704 + 3072 = 5776 = 76^2$
$x_1 = \frac{-52 + 76}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$
$x_2 = \frac{-52 - 76}{2 \cdot 3} = \frac{-128}{6} = -\frac{64}{3}$
Проверим корни.
$x_1 = 4$. Удовлетворяет ОДЗ ($4 > 0$) и условию $x \le 16$. Это решение.
$x_2 = -\frac{64}{3}$. Не удовлетворяет ОДЗ ($x>0$). Это посторонний корень.
Ответ: $4$.