Страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Иррационал өрнектерді түрлендіру тәсілдерін қандай жағдайларда қолданған ыңғайлы?

Иррационал өрнектерді түрлендіру тәсілдері келесі жағдайларда ыңғайлы және қажетті болып табылады:

• Өрнекті ықшамдау үшін: Есептеулерді жеңілдету немесе өрнектің құрылымын қарапайым ету мақсатында. Мысалы, $ (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4-3=1 $.

• Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан арылу үшін: Бұл өрнектің мәнін бағалауды және онымен ары қарай жұмыс істеуді жеңілдетеді. Бұл үшін бөлімі мен алымын бөлімінің түйіндесіне көбейтеді. Мысалы, $ \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2 $.

• Иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде: Түрлендірулер теңдеуді немесе теңсіздікті стандартты түрге келтіруге көмектеседі. Мысалы, түбір астындағы өрнекті дәрежеге шығару арқылы.

• Көбейткішті түбір белгісінің алдына шығару немесе түбір белгісінің астына енгізу: Бұл өрнектерді салыстыруға немесе оларды қосып-азайтуға мүмкіндік береді. Мысалы, $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $ немесе $ 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18} $.

• Иррационал өрнектерді көбейткіштерге жіктеу: Бұл бөлшектерді қысқартуға немесе теңдеулерді шешуге қажет болуы мүмкін. Мысалы, $ a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $ ($a \ge 0, b \ge 0$).

• Өрнектердің мәндерін салыстыру: Түрлендірулер арқылы қай өрнектің үлкен немесе кіші екенін анықтау оңайырақ болады. Мысалы, $ 3\sqrt{2} $ және $ 2\sqrt{3} $ сандарын салыстыру үшін, оларды $ \sqrt{18} $ және $ \sqrt{12} $ түріне келтіреміз. Осыдан $ \sqrt{18} > \sqrt{12} $ екені көрінеді.

Ответ: Иррационал өрнектерді түрлендіру тәсілдері өрнектерді ықшамдау, бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылу, теңдеулерді шешу, көбейткіштерге жіктеу және өрнектерді салыстыру сияқты көптеген математикалық амалдарды орындауды жеңілдету үшін қолданылады.

2. Рационал және иррационал өрнектерді түрлендіруде айырмашылық бар ма?

Иә, рационал және иррационал өрнектерді түрлендіруде айтарлықтай айырмашылықтар бар. Негізгі айырмашылықтар мыналар:

• Қолданылатын амалдар: Рационал өрнектерді түрлендіруде негізінен көпмүшелермен жасалатын амалдар, ортақ бөлімге келтіру, қысқаша көбейту формулаларын қолдану сияқты стандартты алгебралық әдістер қолданылады. Иррационал өрнектерді түрлендіруде бұларға қоса түбірлердің қасиеттеріне негізделген арнайы әдістер қолданылады.

• Түбірлермен жұмыс істеу: Иррационал өрнектерде түбір (радикал) белгісі болады. Сондықтан оларды түрлендіру кезінде түбірлердің қасиеттерін білу маңызды:
$ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} $
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $
$ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} $
$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} $
Рационал өрнектерде мұндай амалдар кездеспейді.

• Анықталу облысы (Мүмкін мәндер жиыны): Иррационал өрнектерді, әсіресе жұп дәрежелі түбірлері бар өрнектерді түрлендіргенде, олардың анықталу облысын ескеру өте маңызды. Түбір астындағы өрнек теріс емес болуы керек (мысалы, $ \sqrt{A} $ өрнегінде $ A \ge 0 $). Сондай-ақ, $ \sqrt{x^2}=|x| $ теңдігін ұмытпау керек. Рационал өрнектерде негізгі шектеу – бөлшектің бөлімі нөлге тең болмауы.

• Иррационалдықтан арылу: Бұл тек иррационал өрнектерге тән түрлендіру. Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылу үшін алымы мен бөлімін түйіндес өрнекке көбейту әдісі жиі қолданылады. Бұл амал рационал өрнектерде қажет емес.

Ответ: Иә, айырмашылық бар. Иррационал өрнектерді түрлендіру түбірлердің қасиеттерін, анықталу облысын қатаң ескеруді және иррационалдықтан арылу сияқты арнайы әдістерді қолдануды талап етеді, ал рационал өрнектерді түрлендіру стандартты алгебралық амалдарға негізделген.

3. (1) формуланы дәлелдеу кезінде бұрыннан белгілі қандай білімдерді қолдандыңдар?

Мәтінмәнді ескере отырып, "(1) формула" деп бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан арылу үшін қолданылатын әдіс немесе соған қатысты формула айтылып отыр деп болжауға болады. Мысалы, $ \frac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} $ түріндегі өрнекті түрлендіруді қарастырайық. Осы түрлендіруді (формуланы) "дәлелдеу" үшін, яғни негіздеу үшін, келесі бұрыннан белгілі білімдер қолданылады:

• Бөлшектің негізгі қасиеті: Бөлшектің алымы мен бөлімін нөлден өзге бірдей санға немесе өрнекке көбейткенде, бөлшектің мәні өзгермейді. Яғни, $ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $ (мұнда $ B \neq 0, C \neq 0 $).

• Квадраттар айырымының формуласы (қысқаша көбейту формуласы): Екі өрнектің айырымы мен қосындысының көбейтіндісі олардың квадраттарының айырымына тең: $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $. Бұл формула түйіндес көбейткіштерді пайдаланудың негізі болып табылады.

• Түйіндес өрнектер ұғымы:$ \sqrt{a} - \sqrt{b} $ және $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $ сияқты өрнектер өзара түйіндес деп аталады. Олардың көбейтіндісі рационал өрнекке айналады.

• Квадрат түбірдің қасиеті: Теріс емес санның квадрат түбірінің квадраты сол санның өзіне тең: $ (\sqrt{a})^2 = a $ (мұнда $ a \ge 0 $).

Осы білімдерді қолдану арқылы $ \frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} $ өрнегін түрлендіруге болады: алымы мен бөлімін бөлімінің түйіндесіне, яғни $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $-ге көбейтеміз. Нәтижесінде бөлімі $ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b $ болып, иррационалдықтан арыламыз.

Ответ: (1) формуланы (бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан арылуды) дәлелдеу үшін бөлшектің негізгі қасиеті, квадраттар айырымының формуласы, түйіндес өрнектер ұғымы және квадрат түбірдің қасиеті сияқты бұрыннан белгілі білімдер қолданылады.

1) Берілген өрнек: $ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} $.
Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз. Ортақ бөлім $ (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) $ болады. Қысқаша көбейту формуласын $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $ қолданамыз:
$ (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 $.
Енді алымдарды есептейміз. Бірінші бөлшектің алымы мен бөлімін $ (\sqrt{5} - \sqrt{3}) $-ке, екінші бөлшектің алымы мен бөлімін $ (\sqrt{5} + \sqrt{3}) $-ке көбейтеміз:
$ \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} + \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{2} $.
Алымды ықшамдаймыз. $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ және $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ формулаларын қолданамыз:
$ (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} $.
$ (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15} $.
Алымдардың қосындысы: $ (8 - 2\sqrt{15}) + (8 + 2\sqrt{15}) = 16 $.
Сонымен, өрнектің мәні: $ \frac{16}{2} = 8 $.
Ответ: 8.

2) Берілген өрнек: $ \frac{11 + \sqrt{21}}{11 - \sqrt{21}} + \frac{11 - \sqrt{21}}{11 + \sqrt{21}} $.
Бұл есеп біріншісіне ұқсас. Ортақ бөлім $ (11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21}) $ болады.
$ (11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21}) = 11^2 - (\sqrt{21})^2 = 121 - 21 = 100 $.
Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз:
$ \frac{(11 + \sqrt{21})^2 + (11 - \sqrt{21})^2}{(11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21})} = \frac{(11 + \sqrt{21})^2 + (11 - \sqrt{21})^2}{100} $.
Алымды ықшамдау үшін $ (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2) $ формуласын қолданамыз, мұндағы $ a = 11 $, $ b = \sqrt{21} $:
Алым: $ 2(11^2 + (\sqrt{21})^2) = 2(121 + 21) = 2(142) = 284 $.
Сонда өрнектің мәні: $ \frac{284}{100} = \frac{71}{25} $.
Ответ: $ \frac{71}{25} $.

3) Берілген өрнек: $ \frac{1}{11 - 2\sqrt{30}} - \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} $.
Ортақ бөлімге келтіреміз. Ортақ бөлім $ (11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) $ болады.
$ (11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - (4 \cdot 30) = 121 - 120 = 1 $.
Бөлшектерді азайтамыз:
$ \frac{(11 + 2\sqrt{30}) - (11 - 2\sqrt{30})}{(11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30})} = \frac{11 + 2\sqrt{30} - 11 + 2\sqrt{30}}{1} $.
Алымды ықшамдаймыз: $ 11 - 11 + 2\sqrt{30} + 2\sqrt{30} = 4\sqrt{30} $.
Сонда өрнектің мәні: $ \frac{4\sqrt{30}}{1} = 4\sqrt{30} $.
Ответ: $ 4\sqrt{30} $.

4) Берілген өрнек: $ \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{5}{3 - 2\sqrt{2}} $.
Ортақ көбейткіш 5-ті жақша сыртына шығарамыз: $ 5 \left( \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \right) $.
Жақша ішіндегі өрнекті ортақ бөлімге келтіреміз. Ортақ бөлім $ (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) $ болады.
$ (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1 $.
Жақша ішіндегі бөлшектерді қосамыз:
$ \frac{(3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2}}{1} $.
Алымды ықшамдаймыз: $ 3 + 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 6 $.
Жақша ішіндегі өрнектің мәні: $ \frac{6}{1} = 6 $.
Енді 5-ке көбейтеміз: $ 5 \cdot 6 = 30 $.
Ответ: 30.

1) Исходное выражение: $\sqrt[4]{6 + \sqrt{20}} \cdot \sqrt[4]{6 - \sqrt{20}}$.
Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[4]{(6 + \sqrt{20})(6 - \sqrt{20})}$.
Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно упростить по формуле $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ :
$(6 + \sqrt{20})(6 - \sqrt{20}) = 6^2 - (\sqrt{20})^2 = 36 - 20 = 16$.
Подставим полученное значение обратно под корень:
$\sqrt[4]{16}$.
Так как $2^4 = 16$, то корень четвертой степени из 16 равен 2.
Ответ: 2

2) Исходное выражение: $\sqrt[4]{4 + \sqrt{15}} \cdot \sqrt[4]{4 - \sqrt{15}}$.
Объединим множители под один знак корня четвертой степени:
$\sqrt[4]{(4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15})}$.
Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ к выражению под корнем:
$(4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15}) = 4^2 - (\sqrt{15})^2 = 16 - 15 = 1$.
Таким образом, выражение упрощается до:
$\sqrt[4]{1} = 1$.
Ответ: 1

3) Исходное выражение: $(\sqrt{14} - 3\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{28}$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(\sqrt{14})^2 - 2 \cdot \sqrt{14} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{28}$.
Выполним вычисления:
$14 - 6\sqrt{14 \cdot 2} + 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{28} = 14 - 6\sqrt{28} + 9 \cdot 2 + 6\sqrt{28}$.
$14 - 6\sqrt{28} + 18 + 6\sqrt{28}$.
Сгруппируем подобные члены:
$(14 + 18) + (-6\sqrt{28} + 6\sqrt{28}) = 32 + 0 = 32$.
Ответ: 32

4) Исходное выражение: $(3\sqrt{5} + \sqrt{15})^2 - 10\sqrt{27}$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :
$(3\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 - 10\sqrt{27}$.
Упростим полученное выражение:
$9 \cdot 5 + 6\sqrt{5 \cdot 15} + 15 - 10\sqrt{27} = 45 + 6\sqrt{75} + 15 - 10\sqrt{27}$.
Сгруппируем целые числа и упростим корни, вынеся множители из-под знака корня:
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные корни в выражение:
$(45 + 15) + 6 \cdot (5\sqrt{3}) - 10 \cdot (3\sqrt{3}) = 60 + 30\sqrt{3} - 30\sqrt{3}$.
Взаимно уничтожим члены $30\sqrt{3}$ и $-30\sqrt{3}$:
$60 + 0 = 60$.
Ответ: 60

Для упрощения выражений вида $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ будем использовать формулу для сложных радикалов (вложенных корней):

$\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2-B}}{2}}$

Эта формула особенно удобна, когда $A^2-B$ является полным квадратом.

Другой распространенный метод — преобразование подкоренного выражения к виду $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ и последующее представление его в виде полного квадрата $(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2 = (x+y) \pm 2\sqrt{xy}$. Тогда $\sqrt{(x+y) \pm 2\sqrt{xy}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ (при $x>y$ для знака минус).

1) $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$

Преобразуем внутренний радикал: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Выражение принимает вид: $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$. Теперь ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=5$ и $xy=6$. Очевидно, что это числа 3 и 2. Таким образом, мы можем записать: $5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2\sqrt{3 \cdot 2} + 2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$. Следовательно: $\sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{3} + \sqrt{2}$.

2) $\sqrt{6 - \sqrt{20}}$

Преобразуем внутренний радикал: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$. Выражение принимает вид: $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$. Ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=6$ и $xy=5$. Это числа 5 и 1. Таким образом, мы можем записать: $6 - 2\sqrt{5} = 5 - 2\sqrt{5 \cdot 1} + 1 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{1} + (\sqrt{1})^2 = (\sqrt{5} - 1)^2$. Следовательно: $\sqrt{6 - \sqrt{20}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1$ (поскольку $\sqrt{5} > 1$, результат положительный). Ответ: $\sqrt{5} - 1$.

3) $\sqrt{7 - \sqrt{13}}$

Здесь перед внутренним радикалом нет множителя 2, поэтому применим общую формулу $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ с $A=7, B=13$. Вычислим $\sqrt{A^2-B}$: $\sqrt{7^2 - 13} = \sqrt{49 - 13} = \sqrt{36} = 6$. Подставляем в формулу: $\sqrt{7 - \sqrt{13}} = \sqrt{\frac{7+6}{2}} - \sqrt{\frac{7-6}{2}} = \sqrt{\frac{13}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{13}-1}{\sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{(\sqrt{13}-1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{26} - \sqrt{2}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{26} - \sqrt{2}}{2}$.

4) $\sqrt{8 + \sqrt{28}}$

Преобразуем внутренний радикал: $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$. Выражение принимает вид: $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}}$. Ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=8$ и $xy=7$. Это числа 7 и 1. Таким образом, мы можем записать: $8 + 2\sqrt{7} = 7 + 2\sqrt{7 \cdot 1} + 1 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{1} + (\sqrt{1})^2 = (\sqrt{7} + 1)^2$. Следовательно: $\sqrt{8 + \sqrt{28}} = \sqrt{(\sqrt{7} + 1)^2} = \sqrt{7} + 1$. Ответ: $\sqrt{7} + 1$.

5) $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$

Выражение уже имеет вид $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$. Ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=8$ и $xy=15$. Это числа 5 и 3. Таким образом, мы можем записать: $8 - 2\sqrt{15} = 5 - 2\sqrt{5 \cdot 3} + 3 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$. Следовательно: $\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{5} > \sqrt{3}$). Ответ: $\sqrt{5} - \sqrt{3}$.

6) $\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}$

Преобразуем выражение, чтобы использовать общую формулу. Внесем 3 под знак корня: $3\sqrt{3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$. Получаем выражение $\sqrt{6 + \sqrt{27}}$. Применим формулу $\sqrt{A + \sqrt{B}}$ с $A=6, B=27$. Вычислим $\sqrt{A^2-B}$: $\sqrt{6^2 - 27} = \sqrt{36 - 27} = \sqrt{9} = 3$. Подставляем в формулу: $\sqrt{6 + \sqrt{27}} = \sqrt{\frac{6+3}{2}} + \sqrt{\frac{6-3}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{(3+\sqrt{3})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$. Ответ: $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$.

7) $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$

Выражение имеет вид $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$. Ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=10$ и $xy=21$. Это числа 7 и 3. Таким образом, мы можем записать: $10 - 2\sqrt{21} = 7 - 2\sqrt{7 \cdot 3} + 3 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2$. Следовательно: $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{7} > \sqrt{3}$). Ответ: $\sqrt{7} - \sqrt{3}$.

8) $\sqrt{11 - 2\sqrt{10}}$

Выражение имеет вид $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$. Ищем два числа $x$ и $y$, для которых $x+y=11$ и $xy=10$. Это числа 10 и 1. Таким образом, мы можем записать: $11 - 2\sqrt{10} = 10 - 2\sqrt{10 \cdot 1} + 1 = (\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{10}\sqrt{1} + (\sqrt{1})^2 = (\sqrt{10} - 1)^2$. Следовательно: $\sqrt{11 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{10} - 1)^2} = \sqrt{10} - 1$ (поскольку $\sqrt{10} > 1$). Ответ: $\sqrt{10} - 1$.

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Область допустимых значений переменной $m$: $m > 0$ и $m \neq 9$.

1. Сначала выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение $(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)$, которое по формуле разности квадратов равно $m-9$.

$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-3} - \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+3} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}+3) - \sqrt{m}(\sqrt{m}-3)}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)} = \frac{(m+3\sqrt{m}) - (m-3\sqrt{m})}{m-9} = \frac{m+3\sqrt{m} - m+3\sqrt{m}}{m-9} = \frac{6\sqrt{m}}{m-9}$

2. Теперь выполним деление. Заметим, что знаменатель второй дроби $m-6\sqrt{m}+9$ является полным квадратом разности: $(\sqrt{m}-3)^2$.

$\frac{6\sqrt{m}}{m-9} : \frac{2m}{m-6\sqrt{m}+9}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{6\sqrt{m}}{m-9} \cdot \frac{m-6\sqrt{m}+9}{2m} = \frac{6\sqrt{m}}{m-9} \cdot \frac{(\sqrt{m}-3)^2}{2m}$

3. Разложим знаменатель первой дроби $m-9$ на множители, используя формулу разности квадратов, и проведем сокращение:

$\frac{6\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)} \cdot \frac{(\sqrt{m}-3)^2}{2m} = \frac{6\sqrt{m} \cdot (\sqrt{m}-3)^2}{2m \cdot (\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)}$

Сокращаем общие множители: $2$, $(\sqrt{m}-3)$ и $\sqrt{m}$ (учитывая, что $m = (\sqrt{m})^2$).

$\frac{3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{\sqrt{m}} \cdot (\sqrt{m}-3) \cdot \cancel{(\sqrt{m}-3)}}{\cancel{2} \cdot \sqrt{m} \cdot \cancel{\sqrt{m}} \cdot \cancel{(\sqrt{m}-3)} \cdot (\sqrt{m}+3)} = \frac{3(\sqrt{m}-3)}{\sqrt{m}(\sqrt{m}+3)}$

Ответ: $\frac{3(\sqrt{m}-3)}{\sqrt{m}(\sqrt{m}+3)}$

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{7}{2\sqrt{3}+\sqrt{5}} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для выражения $ 2\sqrt{3}+\sqrt{5} $ является $ 2\sqrt{3}-\sqrt{5} $. Используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $.

$ \frac{7}{2\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{7(2\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(2\sqrt{3}+\sqrt{5})(2\sqrt{3}-\sqrt{5})} = \frac{7(2\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} $

Вычислим знаменатель:

$ (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 3 - 5 = 12 - 5 = 7 $.

Подставим полученное значение в дробь:

$ \frac{7(2\sqrt{3}-\sqrt{5})}{7} = 2\sqrt{3}-\sqrt{5} $.

Ответ: $ 2\sqrt{3}-\sqrt{5} $.

2) Для избавления от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{11}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{5}} $ воспользуемся формулой суммы кубов: $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $. В нашем случае $ a=\sqrt[3]{6} $ и $ b=\sqrt[3]{5} $. Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности $ (\sqrt[3]{6})^2 - \sqrt[3]{6}\sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25} $.

$ \frac{11}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{5}} = \frac{11(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25})}{(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25})} $

Знаменатель станет равен сумме кубов:

$ (\sqrt[3]{6})^3 + (\sqrt[3]{5})^3 = 6 + 5 = 11 $.

Подставим значение в дробь и сократим:

$ \frac{11(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25})}{11} = \sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25} $.

3) В знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3}} $ три слагаемых. Сгруппируем их, чтобы дважды применить формулу разности квадратов. Сгруппируем так: $ \sqrt{5}+(\sqrt{2}-\sqrt{3}) $. Сопряженное выражение будет $ \sqrt{5}-(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3} $.

Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3} $:

$ \frac{1 \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+(\sqrt{2}-\sqrt{3}))(\sqrt{5}-(\sqrt{2}-\sqrt{3}))} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2}-\sqrt{3})^2} $

Вычислим знаменатель:

$ (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 = 5 - (2 - 2\sqrt{6} + 3) = 5 - (5 - 2\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} $.

Дробь приняла вид: $ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} $.

Теперь, чтобы избавиться от $ \sqrt{6} $ в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{6} $:

$ \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}-\sqrt{12}+\sqrt{18}}{2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{30}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{12} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{30}}{12} $.

4) Рассмотрим знаменатель дроби $ \frac{6}{\sqrt{10}-\sqrt{6}+\sqrt{5}-\sqrt{15}} $. Попытки разложить его на множители путем группировки не приводят к успеху в его исходном виде. Например: $ \sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3}) + \sqrt{5}(1-\sqrt{3}) $. Это не позволяет вынести общий множитель.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Подобные задачи обычно предполагают возможность разложения знаменателя на множители. Если предположить, что первый член знаменателя — $ \sqrt{2} $ вместо $ \sqrt{10} $, то выражение становится $ \sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{5}-\sqrt{15} $. Разложим его на множители:

$ \sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{5}\sqrt{3} = \sqrt{2}(1-\sqrt{3}) + \sqrt{5}(1-\sqrt{3}) = (\sqrt{2}+\sqrt{5})(1-\sqrt{3}) $.

Такое разложение позволяет решить задачу стандартным методом. Будем исходить из этого предположения.

Итак, решаем задачу для дроби $ \frac{6}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})(1-\sqrt{3})} $.

Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения к каждому множителю в знаменателе: $ (\sqrt{2}-\sqrt{5}) $ и $ (1+\sqrt{3}) $.

$ \frac{6 \cdot (\sqrt{2}-\sqrt{5})(1+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5}) \cdot (1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} $

Вычислим знаменатель:

$ ((\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2) \cdot (1^2 - (\sqrt{3})^2) = (2-5) \cdot (1-3) = (-3)(-2) = 6 $.

Дробь упрощается до:

$ \frac{6(\sqrt{2}-\sqrt{5})(1+\sqrt{3})}{6} = (\sqrt{2}-\sqrt{5})(1+\sqrt{3}) $

Раскроем скобки:

$ \sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{5}-\sqrt{15} $.

Ответ: При условии, что в знаменателе допущена опечатка и он должен быть $ \sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{5}-\sqrt{15} $, ответ: $ \sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{5}-\sqrt{15} $.