Номер 113, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{7}{2\sqrt{3}+\sqrt{5}} $, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для выражения $ 2\sqrt{3}+\sqrt{5} $ является $ 2\sqrt{3}-\sqrt{5} $. Используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $.

$ \frac{7}{2\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{7(2\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(2\sqrt{3}+\sqrt{5})(2\sqrt{3}-\sqrt{5})} = \frac{7(2\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} $

Вычислим знаменатель:

$ (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 3 - 5 = 12 - 5 = 7 $.

Подставим полученное значение в дробь:

$ \frac{7(2\sqrt{3}-\sqrt{5})}{7} = 2\sqrt{3}-\sqrt{5} $.

Ответ: $ 2\sqrt{3}-\sqrt{5} $.

2) Для избавления от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{11}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{5}} $ воспользуемся формулой суммы кубов: $ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $. В нашем случае $ a=\sqrt[3]{6} $ и $ b=\sqrt[3]{5} $. Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности $ (\sqrt[3]{6})^2 - \sqrt[3]{6}\sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25} $.

$ \frac{11}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{5}} = \frac{11(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25})}{(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25})} $

Знаменатель станет равен сумме кубов:

$ (\sqrt[3]{6})^3 + (\sqrt[3]{5})^3 = 6 + 5 = 11 $.

Подставим значение в дробь и сократим:

$ \frac{11(\sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25})}{11} = \sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{36} - \sqrt[3]{30} + \sqrt[3]{25} $.

3) В знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3}} $ три слагаемых. Сгруппируем их, чтобы дважды применить формулу разности квадратов. Сгруппируем так: $ \sqrt{5}+(\sqrt{2}-\sqrt{3}) $. Сопряженное выражение будет $ \sqrt{5}-(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3} $.

Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3} $:

$ \frac{1 \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+(\sqrt{2}-\sqrt{3}))(\sqrt{5}-(\sqrt{2}-\sqrt{3}))} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2}-\sqrt{3})^2} $

Вычислим знаменатель:

$ (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 = 5 - (2 - 2\sqrt{6} + 3) = 5 - (5 - 2\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} $.

Дробь приняла вид: $ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} $.

Теперь, чтобы избавиться от $ \sqrt{6} $ в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{6} $:

$ \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}-\sqrt{12}+\sqrt{18}}{2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{30}-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{12} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{30}}{12} $.

4) Рассмотрим знаменатель дроби $ \frac{6}{\sqrt{10}-\sqrt{6}+\sqrt{5}-\sqrt{15}} $. Попытки разложить его на множители путем группировки не приводят к успеху в его исходном виде. Например: $ \sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3}) + \sqrt{5}(1-\sqrt{3}) $. Это не позволяет вынести общий множитель.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Подобные задачи обычно предполагают возможность разложения знаменателя на множители. Если предположить, что первый член знаменателя — $ \sqrt{2} $ вместо $ \sqrt{10} $, то выражение становится $ \sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{5}-\sqrt{15} $. Разложим его на множители:

$ \sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{5}\sqrt{3} = \sqrt{2}(1-\sqrt{3}) + \sqrt{5}(1-\sqrt{3}) = (\sqrt{2}+\sqrt{5})(1-\sqrt{3}) $.

Такое разложение позволяет решить задачу стандартным методом. Будем исходить из этого предположения.

Итак, решаем задачу для дроби $ \frac{6}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})(1-\sqrt{3})} $.

Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения к каждому множителю в знаменателе: $ (\sqrt{2}-\sqrt{5}) $ и $ (1+\sqrt{3}) $.

$ \frac{6 \cdot (\sqrt{2}-\sqrt{5})(1+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5}) \cdot (1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} $

Вычислим знаменатель:

$ ((\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2) \cdot (1^2 - (\sqrt{3})^2) = (2-5) \cdot (1-3) = (-3)(-2) = 6 $.

Дробь упрощается до:

$ \frac{6(\sqrt{2}-\sqrt{5})(1+\sqrt{3})}{6} = (\sqrt{2}-\sqrt{5})(1+\sqrt{3}) $

Раскроем скобки:

$ \sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{5}-\sqrt{15} $.

Ответ: При условии, что в знаменателе допущена опечатка и он должен быть $ \sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{5}-\sqrt{15} $, ответ: $ \sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{5}-\sqrt{15} $.