Номер 118, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген өрнекті ықшамдау үшін оны кезең-кезеңмен түрлендіреміз. Алдымен айнымалылардың мүмкін мәндер аймағын (ММА) анықтайық: түбірлер мен бөлшектердің мағынасы болуы үшін $x > 0$, $y \ge 0$ және $x \neq y$ шарттары орындалуы керек.

Бастапқы өрнек:

$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} - \left( \frac{x+\sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}} - \sqrt[4]{xy} \right) \cdot \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} $

1. Бірінші мүшені ықшамдау:

$ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} $

Бұл жерде $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$ және $\sqrt{y} = (\sqrt[4]{y})^2$ екенін ескеріп, квадраттар айырымының формуласын $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ қолданамыз:

$ \frac{(\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} = \frac{(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} = \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y} $

2. Жақша ішіндегі өрнекті ықшамдау:

$ \left( \frac{x+\sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}} - \sqrt[4]{xy} \right) $

Алдымен бөлшекті түрлендіреміз. Алымынан және бөлімінен ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарамыз:

$ \frac{x+\sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}} = \frac{\sqrt[4]{x}((\sqrt[4]{x})^3 + (\sqrt[4]{y})^3)}{\sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})} = \frac{(\sqrt[4]{x})^3 + (\sqrt[4]{y})^3}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}} $

Кубтар қосындысының формуласын $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ пайдаланып:

$ \frac{(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})((\sqrt[4]{x})^2 - \sqrt[4]{xy} + (\sqrt[4]{y})^2)}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}} = \sqrt{x} - \sqrt[4]{xy} + \sqrt{y} $

Енді осы нәтижені жақша ішіндегі өрнекке қоямыз:

$ (\sqrt{x} - \sqrt[4]{xy} + \sqrt{y}) - \sqrt[4]{xy} = \sqrt{x} - 2\sqrt[4]{xy} + \sqrt{y} $

Бұл өрнек екімүшенің толық квадраты болып табылады:

$ (\sqrt[4]{x})^2 - 2\sqrt[4]{x}\sqrt[4]{y} + (\sqrt[4]{y})^2 = (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})^2 $

3. Екінші көбейткішті ықшамдау:

$ \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{(\sqrt[4]{x})^2-(\sqrt[4]{y})^2} = \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} $

4. Барлық бөліктерді біріктіру:

Ықшамдалған бөліктерді бастапқы өрнекке қоямыз:

$ (\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}) - (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y})^2 \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}} $

$ = (\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}) - (\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}) $

$ = \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y} - \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y} $

$ = 2\sqrt[4]{y} $

Қорытынды:

Нәтижесінде $2\sqrt[4]{y}$ өрнегін алдық. Енді есептің шарттарын тексерейік:

1.Өрнектің мәні теріс емес. ММА бойынша $y \ge 0$. Жұп дәрежелі түбірдің мәні әрқашан теріс емес, яғни $\sqrt[4]{y} \ge 0$. Демек, $2\sqrt[4]{y}$ өрнегі де теріс емес ($ \ge 0 $).

2.Өрнектің мәні $x$ айнымалысына тәуелді емес. Ықшамдалған өрнек $2\sqrt[4]{y}$ құрамында $x$ айнымалысы жоқ. Сондықтан оның мәні $x$-ке тәуелді емес.

Осылайша, берілген өрнектің мәні айнымалылардың кез келген мүмкін мәндерінде теріс емес және $x$ айнымалысына тәуелді болмайтыны дәлелденді.

Ответ: Өрнекті ықшамдау нәтижесінде $2\sqrt[4]{y}$ алынады. Айнымалылардың мүмкін мәндер аймағында ($x > 0, y \ge 0, x \neq y$) бұл өрнектің мәні теріс емес, себебі $\sqrt[4]{y} \ge 0$. Сонымен қатар, алынған нәтиже $x$ айнымалысына тәуелді емес. Осылайша, есептің шарттары дәлелденді.