Номер 114, страница 65 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\sqrt[3]{12-\sqrt{19}} \cdot \sqrt[3]{12+\sqrt{19}}$
Для решения этого примера воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[3]{12-\sqrt{19}} \cdot \sqrt[3]{12+\sqrt{19}} = \sqrt[3]{(12-\sqrt{19})(12+\sqrt{19})}$.
Выражение в скобках под корнем представляет собой формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Применим эту формулу, где $a=12$ и $b=\sqrt{19}$:
$(12-\sqrt{19})(12+\sqrt{19}) = 12^2 - (\sqrt{19})^2 = 144 - 19 = 125$.
Теперь подставим полученное значение обратно под знак корня:
$\sqrt[3]{125} = 5$.
Ответ: $5$.

2) $\sqrt[5]{7+\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7-\sqrt{17}}$
Этот пример решается аналогично предыдущему, используя свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[5]{7+\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7-\sqrt{17}} = \sqrt[5]{(7+\sqrt{17})(7-\sqrt{17})}$.
Применяем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=\sqrt{17}$:
$(7+\sqrt{17})(7-\sqrt{17}) = 7^2 - (\sqrt{17})^2 = 49 - 17 = 32$.
Подставляем результат под корень:
$\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.
Ответ: $2$.

3) $(2\sqrt{27} - \frac{1}{2}\sqrt{6} + 4\sqrt{3}) : \frac{1}{2}\sqrt{3}$
Сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $2\sqrt{27}$:
$2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Теперь подставим упрощенное значение в скобки и приведем подобные слагаемые:
$(6\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{6} + 4\sqrt{3}) = (6\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) - \frac{1}{2}\sqrt{6} = 10\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{6}$.
Теперь выполним деление полученного выражения на $\frac{1}{2}\sqrt{3}$. Разделим каждый член в скобках на делитель:
$(10\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{6}) : \frac{1}{2}\sqrt{3} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} - \frac{\frac{1}{2}\sqrt{6}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}$.
Вычислим каждое частное по отдельности:
$\frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = 10 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20$.
$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{6}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$.
Объединяем результаты:
$20 - \sqrt{2}$.
Ответ: $20 - \sqrt{2}$.

4) $(5\sqrt{8} - \frac{1}{3}\sqrt{10} - 2\sqrt{18}) : \frac{1}{3}\sqrt{2}$
Сначала упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знаков корней:
$5\sqrt{8} = 5\sqrt{4 \cdot 2} = 5 \cdot 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
Подставим упрощенные значения в скобки и приведем подобные слагаемые:
$(10\sqrt{2} - \frac{1}{3}\sqrt{10} - 6\sqrt{2}) = (10\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) - \frac{1}{3}\sqrt{10} = 4\sqrt{2} - \frac{1}{3}\sqrt{10}$.
Теперь выполним деление полученного выражения на $\frac{1}{3}\sqrt{2}$:
$(4\sqrt{2} - \frac{1}{3}\sqrt{10}) : \frac{1}{3}\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{3}\sqrt{2}} - \frac{\frac{1}{3}\sqrt{10}}{\frac{1}{3}\sqrt{2}}$.
Вычислим каждое частное:
$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{3}\sqrt{2}} = 4 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 12$.
$\frac{\frac{1}{3}\sqrt{10}}{\frac{1}{3}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5}$.
Объединяем результаты:
$12 - \sqrt{5}$.
Ответ: $12 - \sqrt{5}$.