Номер 110, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное выражение: $\sqrt[4]{6 + \sqrt{20}} \cdot \sqrt[4]{6 - \sqrt{20}}$.
Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[4]{(6 + \sqrt{20})(6 - \sqrt{20})}$.
Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно упростить по формуле $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ :
$(6 + \sqrt{20})(6 - \sqrt{20}) = 6^2 - (\sqrt{20})^2 = 36 - 20 = 16$.
Подставим полученное значение обратно под корень:
$\sqrt[4]{16}$.
Так как $2^4 = 16$, то корень четвертой степени из 16 равен 2.
Ответ: 2

2) Исходное выражение: $\sqrt[4]{4 + \sqrt{15}} \cdot \sqrt[4]{4 - \sqrt{15}}$.
Объединим множители под один знак корня четвертой степени:
$\sqrt[4]{(4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15})}$.
Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ к выражению под корнем:
$(4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15}) = 4^2 - (\sqrt{15})^2 = 16 - 15 = 1$.
Таким образом, выражение упрощается до:
$\sqrt[4]{1} = 1$.
Ответ: 1

3) Исходное выражение: $(\sqrt{14} - 3\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{28}$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(\sqrt{14})^2 - 2 \cdot \sqrt{14} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{28}$.
Выполним вычисления:
$14 - 6\sqrt{14 \cdot 2} + 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{28} = 14 - 6\sqrt{28} + 9 \cdot 2 + 6\sqrt{28}$.
$14 - 6\sqrt{28} + 18 + 6\sqrt{28}$.
Сгруппируем подобные члены:
$(14 + 18) + (-6\sqrt{28} + 6\sqrt{28}) = 32 + 0 = 32$.
Ответ: 32

4) Исходное выражение: $(3\sqrt{5} + \sqrt{15})^2 - 10\sqrt{27}$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :
$(3\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 - 10\sqrt{27}$.
Упростим полученное выражение:
$9 \cdot 5 + 6\sqrt{5 \cdot 15} + 15 - 10\sqrt{27} = 45 + 6\sqrt{75} + 15 - 10\sqrt{27}$.
Сгруппируем целые числа и упростим корни, вынеся множители из-под знака корня:
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные корни в выражение:
$(45 + 15) + 6 \cdot (5\sqrt{3}) - 10 \cdot (3\sqrt{3}) = 60 + 30\sqrt{3} - 30\sqrt{3}$.
Взаимно уничтожим члены $30\sqrt{3}$ и $-30\sqrt{3}$:
$60 + 0 = 60$.
Ответ: 60