Номер 109, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Берілген өрнек: $ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} $.
Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз. Ортақ бөлім $ (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) $ болады. Қысқаша көбейту формуласын $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $ қолданамыз:
$ (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 $.
Енді алымдарды есептейміз. Бірінші бөлшектің алымы мен бөлімін $ (\sqrt{5} - \sqrt{3}) $-ке, екінші бөлшектің алымы мен бөлімін $ (\sqrt{5} + \sqrt{3}) $-ке көбейтеміз:
$ \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} + \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{2} $.
Алымды ықшамдаймыз. $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ және $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ формулаларын қолданамыз:
$ (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} $.
$ (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15} $.
Алымдардың қосындысы: $ (8 - 2\sqrt{15}) + (8 + 2\sqrt{15}) = 16 $.
Сонымен, өрнектің мәні: $ \frac{16}{2} = 8 $.
Ответ: 8.

2) Берілген өрнек: $ \frac{11 + \sqrt{21}}{11 - \sqrt{21}} + \frac{11 - \sqrt{21}}{11 + \sqrt{21}} $.
Бұл есеп біріншісіне ұқсас. Ортақ бөлім $ (11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21}) $ болады.
$ (11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21}) = 11^2 - (\sqrt{21})^2 = 121 - 21 = 100 $.
Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз:
$ \frac{(11 + \sqrt{21})^2 + (11 - \sqrt{21})^2}{(11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21})} = \frac{(11 + \sqrt{21})^2 + (11 - \sqrt{21})^2}{100} $.
Алымды ықшамдау үшін $ (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2) $ формуласын қолданамыз, мұндағы $ a = 11 $, $ b = \sqrt{21} $:
Алым: $ 2(11^2 + (\sqrt{21})^2) = 2(121 + 21) = 2(142) = 284 $.
Сонда өрнектің мәні: $ \frac{284}{100} = \frac{71}{25} $.
Ответ: $ \frac{71}{25} $.

3) Берілген өрнек: $ \frac{1}{11 - 2\sqrt{30}} - \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} $.
Ортақ бөлімге келтіреміз. Ортақ бөлім $ (11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) $ болады.
$ (11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - (4 \cdot 30) = 121 - 120 = 1 $.
Бөлшектерді азайтамыз:
$ \frac{(11 + 2\sqrt{30}) - (11 - 2\sqrt{30})}{(11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30})} = \frac{11 + 2\sqrt{30} - 11 + 2\sqrt{30}}{1} $.
Алымды ықшамдаймыз: $ 11 - 11 + 2\sqrt{30} + 2\sqrt{30} = 4\sqrt{30} $.
Сонда өрнектің мәні: $ \frac{4\sqrt{30}}{1} = 4\sqrt{30} $.
Ответ: $ 4\sqrt{30} $.

4) Берілген өрнек: $ \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{5}{3 - 2\sqrt{2}} $.
Ортақ көбейткіш 5-ті жақша сыртына шығарамыз: $ 5 \left( \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \right) $.
Жақша ішіндегі өрнекті ортақ бөлімге келтіреміз. Ортақ бөлім $ (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) $ болады.
$ (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1 $.
Жақша ішіндегі бөлшектерді қосамыз:
$ \frac{(3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2}}{1} $.
Алымды ықшамдаймыз: $ 3 + 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 6 $.
Жақша ішіндегі өрнектің мәні: $ \frac{6}{1} = 6 $.
Енді 5-ке көбейтеміз: $ 5 \cdot 6 = 30 $.
Ответ: 30.