Номер 103, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Вычислим по частям:

1. $ (1 \frac{61}{64})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{64+61}{64})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{125}{64})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{64}{125})^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{\frac{64}{125}})^2 = (\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25} $

2. $ 198^0 = 1 $ (любое число в степени 0 равно 1)

3. $ (9^{-0,4} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{5}})^{-2} $. Упростим выражение в скобках. $9^{-0,4} = (3^2)^{-0,4} = 3^{-0,8}$. Десятичную дробь $0,8$ представим как $\frac{4}{5}$. Тогда $3^{-0,8} = 3^{-\frac{4}{5}}$. Получаем: $ (3^{-\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{5}})^{-2} = (3^{-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}} \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{-2} = (3^0 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{-2} = (1 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{-2} = (5^{\frac{1}{2}})^{-2} = 5^{-1} = \frac{1}{5} $

4. $ (0,0081)^{\frac{1}{4}} = (\frac{81}{10000})^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{81}{10000}} = \frac{3}{10} $

Теперь сложим и вычтем полученные значения:

$ \frac{16}{25} + 1 - \frac{1}{5} + \frac{3}{10} = \frac{16}{25} - \frac{5}{25} + 1 + \frac{3}{10} = \frac{11}{25} + 1 + \frac{3}{10} = 0,44 + 1 + 0,3 = 1,74 $

Ответ: $1,74$

2)

Вычислим по частям:

1. $ (-3\frac{3}{8})^{-\frac{2}{3}} = (-\frac{27}{8})^{-\frac{2}{3}} = (-\frac{8}{27})^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-\frac{8}{27}})^2 = (-\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} $

2. $ 27^{\frac{2}{3}} \cdot (9^{0,5})^5 \cdot 3^{-2} = (3^3)^{\frac{2}{3}} \cdot ((3^2)^{0,5})^5 \cdot 3^{-2} = 3^2 \cdot (3^1)^5 \cdot 3^{-2} = 3^2 \cdot 3^5 \cdot 3^{-2} = 3^{2+5-2} = 3^5 = 243 $

3. $ ((\frac{7}{9})^3)^0 = 1 $

4. $ -(-\frac{1}{2})^{-2} = -(-2)^2 = -4 $

Теперь сложим и вычтем полученные значения:

$ \frac{4}{9} + 243 + 1 - 4 = \frac{4}{9} + 240 = 240\frac{4}{9} $

Ответ: $240\frac{4}{9}$

3)

Выражение имеет вид $A : B - C \cdot D$. Вычислим $A, B, C, D$ по отдельности.

1. $ A = (\frac{9}{16})^{\frac{1}{10}} = ((\frac{3}{4})^2)^{\frac{1}{10}} = (\frac{3}{4})^{\frac{2}{10}} = (\frac{3}{4})^{\frac{1}{5}} $

2. $ B = (\frac{25}{36})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{36}{25})^{\frac{3}{2}} = ((\frac{6}{5})^2)^{\frac{3}{2}} = (\frac{6}{5})^3 $

3. $ C = ((\frac{4}{3})^{-\frac{1}{2}})^{-\frac{2}{5}} = (\frac{4}{3})^{(-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{2}{5})} = (\frac{4}{3})^{\frac{1}{5}} $

4. $ D = (\frac{6}{5})^{-3} = (\frac{5}{6})^3 $

Подставим значения в выражение:

$ (\frac{3}{4})^{\frac{1}{5}} : (\frac{6}{5})^3 - (\frac{4}{3})^{\frac{1}{5}} \cdot (\frac{5}{6})^3 $

Выполним деление и умножение:

$ (\frac{3}{4})^{\frac{1}{5}} \cdot (\frac{5}{6})^3 - (\frac{4}{3})^{\frac{1}{5}} \cdot (\frac{5}{6})^3 $

Вынесем общий множитель $(\frac{5}{6})^3$ за скобки:

$ ((\frac{3}{4})^{\frac{1}{5}} - (\frac{4}{3})^{\frac{1}{5}}) \cdot (\frac{5}{6})^3 $

Так как $(\frac{4}{3}) = (\frac{3}{4})^{-1}$, то $(\frac{4}{3})^{\frac{1}{5}} = ((\frac{3}{4})^{-1})^{\frac{1}{5}} = (\frac{3}{4})^{-\frac{1}{5}}$.

Выражение принимает вид:

$ ((\frac{3}{4})^{\frac{1}{5}} - (\frac{3}{4})^{-\frac{1}{5}}) \cdot \frac{125}{216} $

Ответ: $(\frac{125}{216}) \cdot ((\frac{3}{4})^{\frac{1}{5}} - (\frac{3}{4})^{-\frac{1}{5}})$

4)

Вычислим по частям, соблюдая порядок действий (сначала возведение в степень, потом деление, затем сложение и вычитание):

1. $ (9^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = 9^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 $

2. $ (25^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{10}} = 25^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{10}} = 25^{\frac{5}{20}} = 25^{\frac{1}{4}} = (5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5} $

3. $ [(\frac{3}{4})^{-1} \cdot (\frac{2}{9})^{\frac{6}{7}}]^0 = 1 $ (выражение в скобках не равно нулю, а любое ненулевое число в степени 0 равно 1)

4. $ (36)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{36^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{36}} = \frac{1}{6} $

Теперь подставим значения в исходное выражение:

$ 3 - \sqrt{5} + 1 : \frac{1}{6} $

Сначала выполняем деление:

$ 1 : \frac{1}{6} = 1 \cdot 6 = 6 $

Затем сложение и вычитание:

$ 3 - \sqrt{5} + 6 = 9 - \sqrt{5} $

Ответ: $9 - \sqrt{5}$

5)

Обозначим первый множитель как A, второй как B.

1. Вычислим A: $ A = (4^{-\frac{1}{4}} + (2^{-\frac{3}{2}})^{- \frac{1}{3}})^{\frac{4}{3}} $

$ 4^{-\frac{1}{4}} = (2^2)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{2}} $

$ (2^{-\frac{3}{2}})^{- \frac{1}{3}} = 2^{(-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{1}{3})} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}} $

Сумма в скобках: $ 2^{-\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} = \frac{1+(\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}} = \frac{1+2}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} $

Теперь возведем в степень $\frac{4}{3}$: $ A = (\frac{3}{\sqrt{2}})^{\frac{4}{3}} = \frac{3^{\frac{4}{3}}}{(\sqrt{2})^{\frac{4}{3}}} = \frac{3^{\frac{4}{3}}}{(2^{\frac{1}{2}})^{\frac{4}{3}}} = \frac{3^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} $

2. Вычислим B: $ B = (4^{-0,25} - (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}}) $

$ 4^{-0,25} = 4^{-\frac{1}{4}} = (2^2)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{2}} $

$ 2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} $

$ (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{4} $

Разность в скобках: $ B = 2^{-\frac{1}{2}} - 2^{-2} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{4} $

3. Найдем произведение A и B:

$ A \cdot B = \frac{3^{\frac{4}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{4}) $

Ответ: $\frac{3^{4/3}}{2^{2/3}} (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{4})$

6)

Сначала вычислим выражение в квадратных скобках:

1. $ 0,027^{\frac{2}{3}} = (\frac{27}{1000})^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{0,027})^2 = (0,3)^2 = 0,09 $

2. $ 0,0016^{\frac{3}{4}} = (\frac{16}{10000})^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{0,0016})^3 = (0,2)^3 = 0,008 $

Тогда $ 15 \cdot 0,0016^{\frac{3}{4}} = 15 \cdot 0,008 = 0,12 $

3. $ 243^{\frac{3}{5}} = (\sqrt[5]{243})^3 = 3^3 = 27 $

Тогда $ 0,1 \cdot 243^{\frac{3}{5}} = 0,1 \cdot 27 = 2,7 $

Сложим полученные значения:

$ 0,09 + 0,12 + 2,7 = 0,21 + 2,7 = 2,91 $

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$ (\frac{1}{3} \cdot 2,91)^{\frac{1}{2}} = (0,97)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,97} $

Ответ: $\sqrt{0,97}$