Номер 98, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для сравнения чисел $12^{\frac{3}{4}}$ и $12^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся свойством показательной функции $y=a^x$. Так как основание $a=12 > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 12:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
Поскольку $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$, то $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$. Следовательно, $12^{\frac{3}{4}} > 12^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $12^{\frac{3}{4}} > 12^{\frac{2}{3}}$.

2) Для сравнения $8^{\frac{3}{2}}$ и $8^{\frac{4}{3}}$ рассмотрим функцию $y=8^x$. Основание $a=8 > 1$, поэтому функция является возрастающей. Большему показателю степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней $\frac{3}{2}$ и $\frac{4}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$
$\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{8}{6}$
Поскольку $\frac{9}{6} > \frac{8}{6}$, то $\frac{3}{2} > \frac{4}{3}$. Из-за возрастания функции, $8^{\frac{3}{2}} > 8^{\frac{4}{3}}$.
Ответ: $8^{\frac{3}{2}} > 8^{\frac{4}{3}}$.

3) Сравним $(\frac{1}{18})^{\frac{5}{4}}$ и $(\frac{1}{18})^{\frac{6}{5}}$. Основание степени $a = \frac{1}{18}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Показательная функция $y = a^x$ при $0 < a < 1$ является убывающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. Сравним показатели: $\frac{5}{4}$ и $\frac{6}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 20:
$\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{25}{20}$
$\frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{24}{20}$
Так как $\frac{25}{20} > \frac{24}{20}$, то $\frac{5}{4} > \frac{6}{5}$. Поскольку функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $(\frac{1}{18})^{\frac{5}{4}} < (\frac{1}{18})^{\frac{6}{5}}$.
Ответ: $(\frac{1}{18})^{\frac{5}{4}} < (\frac{1}{18})^{\frac{6}{5}}$.

4) Сравним $(\frac{1}{5})^{1,5}$ и $(\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}$. Основание $a = \frac{1}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$, следовательно, функция $y = (\frac{1}{5})^x$ является убывающей. Большему показателю будет соответствовать меньшее значение степени. Сравним показатели $1,5$ и $\frac{5}{3}$. Представим $1,5$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. Теперь сравним дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 6:
$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$
$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6}$
Поскольку $\frac{9}{6} < \frac{10}{6}$, то $1,5 < \frac{5}{3}$. Так как функция убывающая, то $(\frac{1}{5})^{1,5} > (\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}$.
Ответ: $(\frac{1}{5})^{1,5} > (\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}$.