Страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $4^{\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}} \cdot 32^{-\frac{4}{5}} \cdot 2^3$
Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$.
Сначала упростим произведение множителей с основанием 16, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4} + (-\frac{3}{4})} = 16^0 = 1$.
Теперь выражение принимает вид:
$4^{\frac{1}{2}} \cdot 1 \cdot 32^{-\frac{4}{5}} \cdot 2^3$.
Приведем все основания к общему основанию 2:
$4 = 2^2$, поэтому $4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^1 = 2$.
$32 = 2^5$, поэтому $32^{-\frac{4}{5}} = (2^5)^{-\frac{4}{5}} = 2^{5 \cdot (-\frac{4}{5})} = 2^{-4}$.
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$2^1 \cdot 2^{-4} \cdot 2^3$.
Сложим показатели степеней:
$2^{1 - 4 + 3} = 2^0 = 1$.
Ответ: 1

2) $27^{\frac{1}{3}} \cdot 81^{\frac{3}{4}} \cdot (\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{2}{3})^3$
Приведем все основания к простым числам (2 и 3) и воспользуемся свойствами степеней $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.
$81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$.
$(\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{(2^3)^{\frac{1}{3}}}{(3^3)^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3}$.
Подставим все в исходное выражение:
$3 \cdot 27 \cdot \frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3})^3$.
Выполним вычисления:
$3 \cdot 27 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2^3}{3^3} = 3 \cdot 27 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{27}$.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{3 \cdot 27 \cdot 2 \cdot 8}{3 \cdot 27} = 2 \cdot 8 = 16$.
Ответ: 16

3) $64^{\frac{2}{3}} : 64^{\frac{1}{2}}$
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$64^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}$.
Вычислим разность в показателе степени, приведя дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1 \cdot 3}{6} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.
Получаем $64^{\frac{1}{6}}$.
Представим основание 64 как степень числа 2: $64 = 2^6$.
$(2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

4) $729^{\frac{1}{2}} : 729^{\frac{1}{3}}$
Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$729^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$.
Вычислим разность в показателе степени, приведя дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{6} - \frac{1 \cdot 2}{6} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$.
Получаем $729^{\frac{1}{6}}$.
Представим основание 729 как степень числа 3. Так как $729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.
$(3^6)^{\frac{1}{6}} = 3^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3

1) Для упрощения выражения $a^{1\frac{3}{4}} : a^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Сначала преобразуем смешанную дробь $1\frac{3}{4}$ в неправильную:

$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.

Теперь выражение выглядит так: $a^{\frac{7}{4}} : a^{\frac{2}{3}}$.

Вычитаем показатели степеней:

$a^{\frac{7}{4} - \frac{2}{3}}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.

$\frac{7}{4} - \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{21}{12} - \frac{8}{12} = \frac{21 - 8}{12} = \frac{13}{12}$.

Таким образом, результат упрощения: $a^{\frac{13}{12}}$.

Ответ: $a^{\frac{13}{12}}$

2) Упростим выражение $(x + y)^{\frac{4}{5}} : (x + y)^{\frac{2}{5}}$. Основанием степени здесь является выражение $(x+y)$.

Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(x + y)^{\frac{4}{5} - \frac{2}{5}}$

Выполним вычитание в показателе степени:

$\frac{4}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4-2}{5} = \frac{2}{5}$.

Следовательно, упрощенное выражение равно $(x + y)^{\frac{2}{5}}$.

Ответ: $(x + y)^{\frac{2}{5}}$

3) Для упрощения выражения $a^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{3}{5}} \cdot a^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{3}{4}}) \cdot (x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{2}{3}})$

Упростим первую группу (с основанием $a$):

$a^{\frac{2}{3} + \frac{3}{4}}$

Сложим показатели, приведя дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{8 + 9}{12} = \frac{17}{12}$.

Получаем $a^{\frac{17}{12}}$.

Теперь упростим вторую группу (с основанием $x$):

$x^{\frac{3}{5} + \frac{2}{3}}$

Сложим показатели, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15} = \frac{9 + 10}{15} = \frac{19}{15}$.

Получаем $x^{\frac{19}{15}}$.

Объединяем результаты:

$a^{\frac{17}{12}} x^{\frac{19}{15}}$

Ответ: $a^{\frac{17}{12}} x^{\frac{19}{15}}$

4) Упростим выражение $b^{\frac{7}{12}} \cdot y^{\frac{5}{6}} \cdot b^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{3}{4}}$.

Используем то же правило умножения степеней с одинаковым основанием, что и в предыдущем примере. Сгруппируем множители:

$(b^{\frac{7}{12}} \cdot b^{\frac{2}{3}}) \cdot (y^{\frac{5}{6}} \cdot y^{\frac{3}{4}})$

Упростим первую группу (с основанием $b$):

$b^{\frac{7}{12} + \frac{2}{3}}$

Сложим показатели, приведя дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{7}{12} + \frac{2}{3} = \frac{7}{12} + \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{7 + 8}{12} = \frac{15}{12}$.

Сократим дробь: $\frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.

Получаем $b^{\frac{5}{4}}$.

Теперь упростим вторую группу (с основанием $y$):

$y^{\frac{5}{6} + \frac{3}{4}}$

Сложим показатели, приведя дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 2}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}$.

Получаем $y^{\frac{19}{12}}$.

Объединяем результаты:

$b^{\frac{5}{4}} y^{\frac{19}{12}}$

Ответ: $b^{\frac{5}{4}} y^{\frac{19}{12}}$

1) $4^{1,5} - 9^{-0,5} + (\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}}$
Для решения этого выражения, вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.
1. Представим десятичные показатели степени в виде обыкновенных дробей: $1,5 = \frac{3}{2}$ и $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
Вычислим первый член: $4^{1,5} = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.
2. Вычислим второй член: $9^{-0,5} = 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.
3. Вычислим третий член, используя свойство $ (a/b)^{-n} = (b/a)^n $:
$(\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{64})^2 = 4^2 = 16$.
4. Теперь сложим и вычтем полученные значения:
$8 - \frac{1}{3} + 16 = 24 - \frac{1}{3} = \frac{72}{3} - \frac{1}{3} = \frac{71}{3} = 23\frac{2}{3}$.
Ответ: $23\frac{2}{3}$.

2) $8^{\frac{2}{3}} - (\frac{1}{16})^{-0,75} + (\frac{1}{4})^{1,5}$
Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.
1. Первый член: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.
2. Второй член. Преобразуем десятичную степень в дробь: $-0,75 = -\frac{3}{4}$.
$(\frac{1}{16})^{-0,75} = (\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$.
3. Третий член. Преобразуем десятичную степень в дробь: $1,5 = \frac{3}{2}$.
$(\frac{1}{4})^{1,5} = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{4})^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
4. Подставим результаты в исходное выражение:
$4 - 8 + \frac{1}{8} = -4 + \frac{1}{8} = -\frac{32}{8} + \frac{1}{8} = -\frac{31}{8} = -3\frac{7}{8}$.
Ответ: $-3\frac{7}{8}$.

3) $(125^{-\frac{1}{3}} - 36^{\frac{1}{2}}) \cdot (16^{\frac{1}{4}} + 216^{\frac{1}{3}})^0$
Сначала рассмотрим второй множитель $(16^{\frac{1}{4}} + 216^{\frac{1}{3}})^0$. Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1. Проверим, не равно ли нулю его основание:
$16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$.
$216^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{216} = 6$.
Основание степени равно $2 + 6 = 8$. Так как $8 \neq 0$, то $8^0 = 1$.
Теперь выражение упрощается до вычисления значения в первой скобке, умноженного на 1:
$125^{-\frac{1}{3}} - 36^{\frac{1}{2}}$.
Вычислим каждый член в скобке:
$125^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$.
$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$.
Значение в первой скобке равно:
$\frac{1}{5} - 6 = \frac{1}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{29}{5} = -5,8$.
Итоговый результат:
$(-\frac{29}{5}) \cdot 1 = -5,8$.
Ответ: $-5,8$.

4) $(\frac{2}{5})^{-3} \cdot (6\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}}$
Вычислим каждый множитель отдельно.
1. Первый множитель: $(\frac{2}{5})^{-3} = (\frac{5}{2})^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$.
2. Второй множитель. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.
Теперь возведем в степень:
$(\frac{25}{4})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{4}{25})^{\frac{3}{2}} = \left( \sqrt{\frac{4}{25}} \right)^3 = (\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}})^3 = (\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$.
3. Перемножим полученные результаты:
$\frac{125}{8} \cdot \frac{8}{125} = 1$.
Ответ: $1$.

1) Для упрощения выражения $\left(a^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{5}{6}}$ воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$\left(a^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}} = a^{\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6}} = a^{\frac{15}{24}}$

Сократим дробь в показателе степени, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{15}{24} = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$

Таким образом, получаем:

$a^{\frac{5}{8}}$

Ответ: $a^{\frac{5}{8}}$

2) Для упрощения выражения $\left(a^{\frac{5}{6}}\right)^{\frac{3}{10}}$ применим то же свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Перемножим показатели степеней:

$\left(a^{\frac{5}{6}}\right)^{\frac{3}{10}} = a^{\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}} = a^{\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 10}} = a^{\frac{15}{60}}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 15:

$\frac{15}{60} = \frac{15 \div 15}{60 \div 15} = \frac{1}{4}$

В результате упрощения получаем:

$a^{\frac{1}{4}}$

Ответ: $a^{\frac{1}{4}}$

3) Упростим выражение $\left((a+x)^{\frac{2}{5}}\right)^{1\frac{1}{4}}$.

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь воспользуемся свойством $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, где основание $x = (a+x)$:

$\left((a+x)^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{5}{4}} = (a+x)^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4}} = (a+x)^{\frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 4}} = (a+x)^{\frac{10}{20}}$

Сократим дробь в показателе степени:

$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Итоговое выражение:

$(a+x)^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $(a+x)^{\frac{1}{2}}$

4) Упростим выражение $\left[\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-\frac{2}{3}}\right]^{\frac{3}{4}}$.

Используем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Основанием здесь является дробь $\frac{a-b}{a+b}$.

$\left[\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-\frac{2}{3}}\right]^{\frac{3}{4}} = \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}}$

Перемножим показатели:

$-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

Выражение принимает вид:

$\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-\frac{1}{2}}$

Теперь воспользуемся свойством отрицательного показателя степени $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$, которое означает, что основание дроби переворачивается, а показатель становится положительным:

$\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{a+b}{a-b}\right)^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^{\frac{1}{2}}$

1) Для решения используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. При этом показатели степеней перемножаются.$(49^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = 49^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = 49^{\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}} = 49^{\frac{6}{12}} = 49^{\frac{1}{2}}$.Степень с дробным показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня.$49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$.Ответ: $7$

2) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.$(625^{-\frac{3}{8}})^{\frac{2}{3}} = 625^{-\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}} = 625^{-\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 3}} = 625^{-\frac{6}{24}} = 625^{-\frac{1}{4}}$.Отрицательный показатель степени означает, что нужно взять обратное значение числа, возведенного в степень с положительным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.$625^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{625^{\frac{1}{4}}}$.Степень с показателем $\frac{1}{4}$ — это корень четвертой степени.$\frac{1}{625^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{625}}$.Так как $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.Таким образом, получаем $\frac{1}{5}$.Ответ: $\frac{1}{5}$

3) Применяем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.$(64^{\frac{1}{4}})^{-\frac{2}{3}} = 64^{\frac{1}{4} \cdot (-\frac{2}{3})} = 64^{-\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 3}} = 64^{-\frac{2}{12}} = 64^{-\frac{1}{6}}$.Используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.$64^{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{6}}}$.Степень с показателем $\frac{1}{6}$ — это корень шестой степени.$\frac{1}{64^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{64}}$.Так как $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.В итоге получаем $\frac{1}{2}$.Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.$((\frac{4}{25})^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = (\frac{4}{25})^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = (\frac{4}{25})^{\frac{6}{12}} = (\frac{4}{25})^{\frac{1}{2}}$.При возведении дроби в степень, в эту степень возводятся и числитель, и знаменатель: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.$(\frac{4}{25})^{\frac{1}{2}} = \frac{4^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$.Ответ: $\frac{2}{5}$

5) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.Теперь выражение имеет вид: $((\frac{27}{8})^{-\frac{5}{2}})^{\frac{2}{15}}$.Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(\frac{27}{8})^{-\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{15}} = (\frac{27}{8})^{-\frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 15}} = (\frac{27}{8})^{-\frac{10}{30}} = (\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}}$.Отрицательная степень дроби "переворачивает" дробь: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.$(\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$.Ответ: $\frac{2}{3}$

6) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{6}{25} = \frac{3 \cdot 25 + 6}{25} = \frac{75+6}{25} = \frac{81}{25}$.Выражение принимает вид: $((\frac{81}{25})^{-\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}$.Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(\frac{81}{25})^{-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = (\frac{81}{25})^{-\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}} = (\frac{81}{25})^{-\frac{6}{12}} = (\frac{81}{25})^{-\frac{1}{2}}$.Используем свойство отрицательной степени для дроби $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:$(\frac{81}{25})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{25}{81})^{\frac{1}{2}} = \frac{25^{\frac{1}{2}}}{81^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} = \frac{5}{9}$.Ответ: $\frac{5}{9}$

1) Для сравнения чисел $12^{\frac{3}{4}}$ и $12^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся свойством показательной функции $y=a^x$. Так как основание $a=12 > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 12:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
Поскольку $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$, то $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$. Следовательно, $12^{\frac{3}{4}} > 12^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $12^{\frac{3}{4}} > 12^{\frac{2}{3}}$.

2) Для сравнения $8^{\frac{3}{2}}$ и $8^{\frac{4}{3}}$ рассмотрим функцию $y=8^x$. Основание $a=8 > 1$, поэтому функция является возрастающей. Большему показателю степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней $\frac{3}{2}$ и $\frac{4}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$
$\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{8}{6}$
Поскольку $\frac{9}{6} > \frac{8}{6}$, то $\frac{3}{2} > \frac{4}{3}$. Из-за возрастания функции, $8^{\frac{3}{2}} > 8^{\frac{4}{3}}$.
Ответ: $8^{\frac{3}{2}} > 8^{\frac{4}{3}}$.

3) Сравним $(\frac{1}{18})^{\frac{5}{4}}$ и $(\frac{1}{18})^{\frac{6}{5}}$. Основание степени $a = \frac{1}{18}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Показательная функция $y = a^x$ при $0 < a < 1$ является убывающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. Сравним показатели: $\frac{5}{4}$ и $\frac{6}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 20:
$\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{25}{20}$
$\frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{24}{20}$
Так как $\frac{25}{20} > \frac{24}{20}$, то $\frac{5}{4} > \frac{6}{5}$. Поскольку функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $(\frac{1}{18})^{\frac{5}{4}} < (\frac{1}{18})^{\frac{6}{5}}$.
Ответ: $(\frac{1}{18})^{\frac{5}{4}} < (\frac{1}{18})^{\frac{6}{5}}$.

4) Сравним $(\frac{1}{5})^{1,5}$ и $(\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}$. Основание $a = \frac{1}{5}$ находится в интервале $(0, 1)$, следовательно, функция $y = (\frac{1}{5})^x$ является убывающей. Большему показателю будет соответствовать меньшее значение степени. Сравним показатели $1,5$ и $\frac{5}{3}$. Представим $1,5$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. Теперь сравним дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 6:
$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$
$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6}$
Поскольку $\frac{9}{6} < \frac{10}{6}$, то $1,5 < \frac{5}{3}$. Так как функция убывающая, то $(\frac{1}{5})^{1,5} > (\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}$.
Ответ: $(\frac{1}{5})^{1,5} > (\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}$.