Страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Обозначим данное выражение через $x$: $x = \sqrt{47 - 4\sqrt{33}} + \sqrt{47 + 4\sqrt{33}}$.
Поскольку оба слагаемых в выражении положительны, то и их сумма $x$ также будет положительна ($x > 0$).
Возведем обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от внешних корней:
$x^2 = (\sqrt{47 - 4\sqrt{33}} + \sqrt{47 + 4\sqrt{33}})^2$
Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$x^2 = (\sqrt{47 - 4\sqrt{33}})^2 + 2\sqrt{47 - 4\sqrt{33}}\sqrt{47 + 4\sqrt{33}} + (\sqrt{47 + 4\sqrt{33}})^2$
$x^2 = (47 - 4\sqrt{33}) + 2\sqrt{(47 - 4\sqrt{33})(47 + 4\sqrt{33})} + (47 + 4\sqrt{33})$
Взаимно уничтожим слагаемые $-4\sqrt{33}$ и $+4\sqrt{33}$. Выражение под корнем свернем по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$x^2 = 47 + 47 + 2\sqrt{47^2 - (4\sqrt{33})^2}$
$x^2 = 94 + 2\sqrt{2209 - (16 \cdot 33)}$
$x^2 = 94 + 2\sqrt{2209 - 528}$
$x^2 = 94 + 2\sqrt{1681}$
Так как $41^2 = 1681$, то $\sqrt{1681} = 41$.
$x^2 = 94 + 2 \cdot 41 = 94 + 82 = 176$
Поскольку мы установили, что $x > 0$, извлекаем арифметический квадратный корень:
$x = \sqrt{176} = \sqrt{16 \cdot 11} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{11} = 4\sqrt{11}$.
Ответ: $4\sqrt{11}$

2) Упростим каждый из сложных корней, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата по формуле $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Рассмотрим первый член $\sqrt{31 - 6\sqrt{26}}$. Нам нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=31$ и $2ab = 6\sqrt{26}$, из чего следует, что $ab=3\sqrt{26}$.
Можно предположить, что $a=3\sqrt{2}$ и $b=\sqrt{13}$. Проверим произведение: $ab = 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{13} = 3\sqrt{26}$. Это верно.
Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = (3\sqrt{2})^2+(\sqrt{13})^2 = 9 \cdot 2 + 13 = 18+13=31$. Это также верно.
Таким образом, $31 - 6\sqrt{26} = (3\sqrt{2} - \sqrt{13})^2$.
Тогда $\sqrt{31 - 6\sqrt{26}} = \sqrt{(3\sqrt{2} - \sqrt{13})^2} = |3\sqrt{2} - \sqrt{13}|$. Поскольку $(3\sqrt{2})^2=18$, а $(\sqrt{13})^2=13$, то $3\sqrt{2} > \sqrt{13}$, и модуль раскрывается со знаком плюс: $3\sqrt{2} - \sqrt{13}$.
Аналогично, $31 + 6\sqrt{26} = (3\sqrt{2} + \sqrt{13})^2$, и $\sqrt{31 + 6\sqrt{26}} = \sqrt{(3\sqrt{2} + \sqrt{13})^2} = 3\sqrt{2} + \sqrt{13}$.
Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:
$(3\sqrt{2} - \sqrt{13}) - (3\sqrt{2} + \sqrt{13}) = 3\sqrt{2} - \sqrt{13} - 3\sqrt{2} - \sqrt{13} = -2\sqrt{13}$.
Ответ: $-2\sqrt{13}$

3) Для решения этого примера можно раскрыть скобки, разделив каждый член на делитель $\sqrt[3]{7}$.
$(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{189} + \sqrt[3]{56}) : \sqrt[3]{7} = \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7}} - \frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}} + \frac{\sqrt[3]{56}}{\sqrt[3]{7}}$
Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:
$= \sqrt[3]{\frac{7}{7}} - \sqrt[3]{\frac{189}{7}} + \sqrt[3]{\frac{56}{7}}$
Выполним деление под знаками корней:
$= \sqrt[3]{1} - \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{8}$
Извлечем кубические корни из полученных чисел:
$= 1 - 3 + 2 = 0$.
Ответ: $0$

4) Упростим каждый множитель в выражении по отдельности.
Рассмотрим первый множитель $\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$. Попробуем представить подкоренное выражение в виде полного куба, используя формулу $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Проверим, является ли $5\sqrt{2}-7$ кубом выражения $(\sqrt{2}-1)$:
$(\sqrt{2}-1)^3 = (\sqrt{2})^3 - 3(\sqrt{2})^2(1) + 3(\sqrt{2})(1)^2 - 1^3 = 2\sqrt{2} - 3 \cdot 2 + 3\sqrt{2} - 1 = (2\sqrt{2}+3\sqrt{2}) - (6+1) = 5\sqrt{2}-7$.
Предположение верно. Следовательно, $\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} = \sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^3} = \sqrt{2}-1$.
Рассмотрим второй множитель $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Проверим, является ли $3+2\sqrt{2}$ квадратом выражения $(\sqrt{2}+1)$:
$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3+2\sqrt{2}$.
Предположение верно. Следовательно, $\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$.
Теперь перемножим упрощенные выражения:
$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$
Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
Ответ: $1$

1) $\sqrt{a^3\sqrt{a}} \cdot \sqrt[3]{a\sqrt{a}}$

Для упрощения данного выражения представим корни в виде степеней с рациональными показателями и воспользуемся свойствами степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

Сначала упростим первый множитель: $\sqrt{a^3\sqrt{a}} = \sqrt{a^3 \cdot a^{1/2}} = \sqrt{a^{3 + 1/2}} = \sqrt{a^{7/2}} = (a^{7/2})^{1/2} = a^{7/4}$.

Теперь упростим второй множитель: $\sqrt[3]{a\sqrt{a}} = \sqrt[3]{a^1 \cdot a^{1/2}} = \sqrt[3]{a^{1 + 1/2}} = \sqrt[3]{a^{3/2}} = (a^{3/2})^{1/3} = a^{3/6} = a^{1/2}$.

Перемножим полученные выражения: $a^{7/4} \cdot a^{1/2} = a^{7/4 + 1/2} = a^{7/4 + 2/4} = a^{9/4}$.

Представим результат в виде корня: $a^{9/4} = \sqrt[4]{a^9} = \sqrt[4]{a^8 \cdot a} = a^2\sqrt[4]{a}$.

Ответ: $a^2\sqrt[4]{a}$.

2) $\sqrt[4]{b^3\sqrt[3]{b^2}} \cdot \sqrt[3]{b^2\sqrt[4]{b}}$

Используем тот же подход, что и в предыдущем примере, представляя корни в виде степеней.

Упростим первый множитель: $\sqrt[4]{b^3\sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[4]{b^3 \cdot b^{2/3}} = \sqrt[4]{b^{3 + 2/3}} = \sqrt[4]{b^{11/3}} = (b^{11/3})^{1/4} = b^{11/12}$.

Упростим второй множитель: $\sqrt[3]{b^2\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{b^2 \cdot b^{1/4}} = \sqrt[3]{b^{2 + 1/4}} = \sqrt[3]{b^{9/4}} = (b^{9/4})^{1/3} = b^{9/12} = b^{3/4}$.

Перемножим результаты: $b^{11/12} \cdot b^{3/4} = b^{11/12} \cdot b^{9/12} = b^{11/12 + 9/12} = b^{20/12} = b^{5/3}$.

Запишем ответ в виде корня: $b^{5/3} = \sqrt[3]{b^5} = \sqrt[3]{b^3 \cdot b^2} = b\sqrt[3]{b^2}$.

Ответ: $b\sqrt[3]{b^2}$.

3) $\sqrt[4]{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}} \cdot \sqrt{\frac{a}{b}\sqrt[4]{\frac{a}{b}}}$

Для удобства введем замену $x = \frac{a}{b}$. Выражение примет вид: $\sqrt[4]{x\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x\sqrt[4]{x}}$.

Преобразуем каждый множитель в степенную форму.

Первый множитель: $\sqrt[4]{x\sqrt{x}} = \sqrt[4]{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt[4]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/4} = x^{3/8}$.

Второй множитель: $\sqrt{x\sqrt[4]{x}} = \sqrt{x \cdot x^{1/4}} = \sqrt{x^{5/4}} = (x^{5/4})^{1/2} = x^{5/8}$.

Перемножим полученные степени: $x^{3/8} \cdot x^{5/8} = x^{3/8 + 5/8} = x^{8/8} = x^1 = x$.

Вернемся к исходным переменным, подставив $x = \frac{a}{b}$.

Ответ: $\frac{a}{b}$.

4) $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a^3\sqrt{a}}} \cdot \sqrt[4]{a^2\sqrt[3]{a\sqrt{a}}}$

Это более сложное выражение, но метод решения тот же. Упростим каждый множитель по отдельности, двигаясь от внутреннего корня к внешнему.

Упростим первый множитель: $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a^3\sqrt{a}}} = \sqrt[3]{a\sqrt[3]{a^3 \cdot a^{1/2}}} = \sqrt[3]{a\sqrt[3]{a^{7/2}}} = \sqrt[3]{a \cdot (a^{7/2})^{1/3}} = \sqrt[3]{a \cdot a^{7/6}} = \sqrt[3]{a^{1+7/6}} = \sqrt[3]{a^{13/6}} = (a^{13/6})^{1/3} = a^{13/18}$.

Упростим второй множитель: $\sqrt[4]{a^2\sqrt[3]{a\sqrt{a}}} = \sqrt[4]{a^2\sqrt[3]{a \cdot a^{1/2}}} = \sqrt[4]{a^2\sqrt[3]{a^{3/2}}} = \sqrt[4]{a^2 \cdot (a^{3/2})^{1/3}} = \sqrt[4]{a^2 \cdot a^{1/2}} = \sqrt[4]{a^{2+1/2}} = \sqrt[4]{a^{5/2}} = (a^{5/2})^{1/4} = a^{5/8}$.

Теперь перемножим полученные выражения: $a^{13/18} \cdot a^{5/8} = a^{13/18 + 5/8}$.

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 8 это 72. $\frac{13}{18} + \frac{5}{8} = \frac{13 \cdot 4}{72} + \frac{5 \cdot 9}{72} = \frac{52 + 45}{72} = \frac{97}{72}$.

Таким образом, результат равен $a^{97/72}$.

Представим результат в виде корня: $a^{97/72} = \sqrt[72]{a^{97}} = \sqrt[72]{a^{72} \cdot a^{25}} = a\sqrt[72]{a^{25}}$.

Ответ: $a\sqrt[72]{a^{25}}$.

1) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя подкоренного выражения.

Числитель: $67^2 - 58^2 = (67 - 58)(67 + 58) = 9 \cdot 125$.

Знаменатель: $53^2 - 28^2 = (53 - 28)(53 + 28) = 25 \cdot 81$.

Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\sqrt{\frac{67^2 - 58^2}{53^2 - 28^2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 125}{25 \cdot 81}}$

Теперь упростим дробь под корнем:

$\sqrt{\frac{9 \cdot 125}{25 \cdot 81}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 5 \cdot 25}{25 \cdot 9 \cdot 9}} = \sqrt{\frac{5}{9}}$

Извлекаем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

2) Для решения этого примера также воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Сначала упростим выражения в числителе и знаменателе дроби под внешним корнем.

Выражение в числителе: $\sqrt{113^2 - 112^2} = \sqrt{(113 - 112)(113 + 112)} = \sqrt{1 \cdot 225} = \sqrt{225} = 15$.

Выражение в знаменателе: $19^2 - 11^2 = (19 - 11)(19 + 11) = 8 \cdot 30 = 240$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\sqrt{\frac{\sqrt{113^2 - 112^2}}{19^2 - 11^2}} = \sqrt{\frac{15}{240}}$

Сократим дробь под корнем:

$\frac{15}{240} = \frac{15}{15 \cdot 16} = \frac{1}{16}$

Извлекаем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Для решения этого примера сначала упростим каждое слагаемое в скобках.

Упростим выражения в первой скобке: $(3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{24} + \sqrt{6})$.

$3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \sqrt{6}$.

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Подставим упрощенные значения в первую скобку:

$\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + \sqrt{6} = (1 - 2 + 1)\sqrt{6} = 0 \cdot \sqrt{6} = 0$.

Так как значение выражения в первой скобке равно нулю, то произведение всего выражения также равно нулю, поскольку произведение любого числа на ноль есть ноль.

$(3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{24} + \sqrt{6}) \cdot (2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}) = 0 \cdot (5 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}) = 0$.

Ответ: $0$

4) Упростим выражения в каждой из скобок по отдельности.

Первая скобка: $(\sqrt[3]{16} - 2\sqrt[3]{2} + 4\sqrt[3]{54})$.

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$.

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Подставляем в первую скобку: $2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 4 \cdot (3\sqrt[3]{2}) = 2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 12\sqrt[3]{2} = (2 - 2 + 12)\sqrt[3]{2} = 12\sqrt[3]{2}$.

Вторая скобка: $(5\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{\frac{1}{2}})$.

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$.

Подставляем во вторую скобку: $5\sqrt[3]{4} - 3 \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{2} = (5 - \frac{3}{2})\sqrt[3]{4} = (\frac{10 - 3}{2})\sqrt[3]{4} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{4}$.

Теперь перемножим результаты, полученные для каждой скобки:

$(12\sqrt[3]{2}) \cdot (\frac{7}{2}\sqrt[3]{4}) = (12 \cdot \frac{7}{2}) \cdot (\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}) = (6 \cdot 7) \cdot \sqrt[3]{8} = 42 \cdot 2 = 84$.

Ответ: $84$

1) Обозначим данное выражение через $x$: $x = \sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}} + \sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}}$. Возведем обе части в куб, используя формулу сокращенного умножения $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:$x^3 = (16 + 8\sqrt{5}) + (16 - 8\sqrt{5}) + 3\sqrt[3]{(16 + 8\sqrt{5})(16 - 8\sqrt{5})} \cdot (\sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}} + \sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}})$.Заметим, что выражение в скобках в конце — это наш исходный $x$. Упростим произведение под корнем:$(16 + 8\sqrt{5})(16 - 8\sqrt{5}) = 16^2 - (8\sqrt{5})^2 = 256 - 64 \cdot 5 = 256 - 320 = -64$.Подставим найденные значения обратно в уравнение для $x^3$:$x^3 = 32 + 3\sqrt[3]{-64} \cdot x$$x^3 = 32 + 3(-4)x$$x^3 = 32 - 12x$.Получаем кубическое уравнение $x^3 + 12x - 32 = 0$. Подбором находим целый корень среди делителей свободного члена (-32). Проверка показывает, что $x=2$ является корнем: $2^3 + 12 \cdot 2 - 32 = 8 + 24 - 32 = 0$.Разделив многочлен $x^3 + 12x - 32$ на $(x-2)$, получим $(x-2)(x^2 + 2x + 16) = 0$. Квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 16$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 16 = -60 < 0$. Следовательно, $x=2$ — единственное решение.Другой способ — заметить, что $16 + 8\sqrt{5} = (1+\sqrt{5})^3$ и $16 - 8\sqrt{5} = (1-\sqrt{5})^3$. Тогда выражение принимает вид:$\sqrt[3]{(1+\sqrt{5})^3} + \sqrt[3]{(1-\sqrt{5})^3} = (1+\sqrt{5}) + (1-\sqrt{5}) = 2$.Ответ: 2

2) По аналогии с предыдущей задачей, попробуем представить подкоренные выражения в виде полного куба $(a \pm b\sqrt{d})^3$. Для выражения $26 + 15\sqrt{3}$ ищем $(a+b\sqrt{3})^3 = a^3+3a^2b\sqrt{3}+3a(b\sqrt{3})^2+(b\sqrt{3})^3 = (a^3+9ab^2) + (3a^2b+3b^3)\sqrt{3}$.Составляем систему уравнений:$\begin{cases} a^3+9ab^2 = 26 \\ 3a^2b+3b^3 = 15 \end{cases}$Из второго уравнения: $3b(a^2+b^2) = 15$, или $b(a^2+b^2)=5$. Предполагая, что $a$ и $b$ — целые числа, легко подобрать $b=1$, тогда $a^2+1=5$, откуда $a^2=4$ и $a=2$.Проверим эти значения в первом уравнении: $2^3 + 9 \cdot 2 \cdot 1^2 = 8 + 18 = 26$. Верно.Таким образом, $26+15\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^3$ и, соответственно, $26-15\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^3$.Исходное выражение равно:$\sqrt[3]{(2-\sqrt{3})^3} + \sqrt[3]{(2+\sqrt{3})^3} = (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 4$.Ответ: 4

3) Преобразуем все корни в степени с рациональными показателями и разложим числа на простые множители:$\sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5^3} = 5^{3/4}$.$\sqrt{\sqrt{5}} = (5^{1/2})^{1/2} = 5^{1/4}$.$\sqrt{5\sqrt{2}} = \sqrt{5 \cdot 2^{1/2}} = (5^1 \cdot 2^{1/2})^{1/2} = 5^{1/2} \cdot 2^{1/4}$.$\sqrt[4]{200} = \sqrt[4]{25 \cdot 8} = \sqrt[4]{5^2 \cdot 2^3} = 5^{2/4} \cdot 2^{3/4} = 5^{1/2} \cdot 2^{3/4}$.Подставим в выражение:$\frac{\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt{\sqrt{5}}}{\sqrt{5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{200}} = \frac{5^{3/4} \cdot 5^{1/4}}{5^{1/2} \cdot 2^{1/4} \cdot 5^{1/2} \cdot 2^{3/4}} = \frac{5^{3/4+1/4}}{5^{1/2+1/2} \cdot 2^{1/4+3/4}} = \frac{5^1}{5^1 \cdot 2^1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Преобразуем все части выражения, используя степени с рациональными показателями:$\sqrt{3\sqrt{5}} = \sqrt{3 \cdot 5^{1/2}} = 3^{1/2} \cdot 5^{1/4}$.$\sqrt[4]{1125} = \sqrt[4]{225 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^2 \cdot 5^2 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^2 \cdot 5^3} = 3^{2/4} \cdot 5^{3/4} = 3^{1/2} \cdot 5^{3/4}$.$\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$.$\sqrt{5\sqrt[3]{5}} = \sqrt{5 \cdot 5^{1/3}} = \sqrt{5^{4/3}} = 5^{(4/3) \cdot (1/2)} = 5^{2/3}$.Выражение принимает вид:$\frac{(3^{1/2} \cdot 5^{1/4}) \cdot (3^{1/2} \cdot 5^{3/4})}{5^{1/3} \cdot 5^{2/3}} = \frac{3^{1/2+1/2} \cdot 5^{1/4+3/4}}{5^{1/3+2/3}} = \frac{3^1 \cdot 5^1}{5^1} = 3$.Ответ: 3

5) Перейдем к степеням с рациональными показателями с основанием 3:$\sqrt{\sqrt{3}} = (3^{1/2})^{1/2} = 3^{1/4}$.$\sqrt[3]{\sqrt{3}} = (3^{1/2})^{1/3} = 3^{1/6}$.$\sqrt{\sqrt[4]{3}} = (3^{1/4})^{1/2} = 3^{1/8}$.Подставим в исходное выражение:$3^{1/4} \cdot \left(\frac{3^{1/6}}{3^{1/8}}\right)^2 = 3^{1/4} \cdot \left(3^{1/6 - 1/8}\right)^2 = 3^{1/4} \cdot \left(3^{4/24 - 3/24}\right)^2 = 3^{1/4} \cdot \left(3^{1/24}\right)^2 = 3^{1/4} \cdot 3^{2/24} = 3^{1/4} \cdot 3^{1/12} = 3^{1/4+1/12} = 3^{3/12+1/12} = 3^{4/12} = 3^{1/3} = \sqrt[3]{3}$.Ответ: $\sqrt[3]{3}$

6) Выполним действия по порядку, предварительно преобразовав корни в степени:$\sqrt{5\sqrt{5}} = \sqrt{5^{1} \cdot 5^{1/2}} = \sqrt{5^{3/2}} = 5^{3/4}$.$\sqrt{\sqrt[3]{5\sqrt{5}}} = \sqrt{\sqrt[3]{5^{3/2}}} = \sqrt{5^{(3/2)\cdot(1/3)}} = \sqrt{5^{1/2}} = 5^{1/4}$.$\sqrt[4]{5\sqrt[3]{5}} = \sqrt[4]{5^1 \cdot 5^{1/3}} = \sqrt[4]{5^{4/3}} = 5^{(4/3)\cdot(1/4)} = 5^{1/3}$.Выполним вычисления:$(5^{3/4} : 5^{1/4}) \cdot 5^{1/3} = 5^{3/4 - 1/4} \cdot 5^{1/3} = 5^{2/4} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/2} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/2+1/3} = 5^{3/6+2/6} = 5^{5/6} = \sqrt[6]{5^5} = \sqrt[6]{3125}$.Ответ: $\sqrt[6]{3125}$

7) Обозначим бесконечный корень через $x$: $x = \sqrt[3]{2\sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}}}$.Возведем обе части в куб: $x^3 = 2\sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}}$.Разделим на 2: $\frac{x^3}{2} = \sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}}$.Возведем еще раз в куб: $(\frac{x^3}{2})^3 = 4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}$.Заметим, что корень в правой части — это исходное выражение $x$.$\frac{x^9}{8} = 4x$.Умножим обе части на 8: $x^9 = 32x$.Так как $x>0$, можем разделить на $x$: $x^8=32$.Отсюда $x = \sqrt[8]{32}$.Ответ: $\sqrt[8]{32}$

8) Обозначим выражение через $y$: $y = \sqrt[5]{3\sqrt[5]{9\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9...}}}}$.Возведем в 5-ю степень: $y^5 = 3\sqrt[5]{9\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9...}}}$.Разделим на 3: $\frac{y^5}{3} = \sqrt[5]{9\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9...}}}$.Возведем снова в 5-ю степень: $(\frac{y^5}{3})^5 = 9\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9...}}$.Правая часть содержит исходное выражение $y$.$\frac{y^{25}}{3^5} = 9y$.$y^{25} = 9 \cdot 3^5 \cdot y = 3^2 \cdot 3^5 \cdot y = 3^7 y$.Так как $y>0$, делим на $y$: $y^{24} = 3^7$.Отсюда $y = \sqrt[24]{3^7} = \sqrt[24]{2187}$.Ответ: $\sqrt[24]{2187}$

1) Для упрощения выражения представим корни в виде степеней и воспользуемся свойствами степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, $ (a^m)^n = a^{mn} $ и $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.
Сначала упростим числитель: $ \sqrt[6]{a\sqrt[3]{a^{-1}}} = \sqrt[6]{a^1 \cdot a^{-1/3}} = \sqrt[6]{a^{1 - 1/3}} = \sqrt[6]{a^{2/3}} = (a^{2/3})^{1/6} = a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{18}} = a^{\frac{1}{9}} $.
Теперь упростим знаменатель: $ \sqrt[9]{a^{-2}} = a^{-2/9} $.
Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{a^{1/9}}{a^{-2/9}} = a^{1/9 - (-2/9)} = a^{1/9 + 2/9} = a^{3/9} = a^{1/3} = \sqrt[3]{a} $.
Ответ: $ \sqrt[3]{a} $

2) Преобразуем выражение, используя степенные представления корней.
Числитель: $ \sqrt[4]{x^3\sqrt[3]{x}} = \sqrt[4]{x^3 \cdot x^{1/3}} = \sqrt[4]{x^{3 + 1/3}} = \sqrt[4]{x^{10/3}} = (x^{10/3})^{1/4} = x^{\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{4}} = x^{\frac{10}{12}} = x^{\frac{5}{6}} $.
Знаменатель: $ \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $.
Выполним деление: $ \frac{x^{5/6}}{x^{1/3}} = x^{5/6 - 1/3} = x^{5/6 - 2/6} = x^{3/6} = x^{1/2} = \sqrt{x} $.
Ответ: $ \sqrt{x} $

3) Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: $ \sqrt[4]{a^{-1}b^2}\sqrt{ab} = (a^{-1}b^2)^{1/4}(ab)^{1/2} = a^{-1/4}b^{2/4}a^{1/2}b^{1/2} = a^{-1/4+1/2}b^{1/2+1/2} = a^{1/4}b $.
Знаменатель: $ \sqrt[3]{a^2b^{-2}\sqrt[4]{a^3b}} = \sqrt[3]{a^2b^{-2}(a^3b)^{1/4}} = \sqrt[3]{a^2b^{-2}a^{3/4}b^{1/4}} = \sqrt[3]{a^{2+3/4}b^{-2+1/4}} = \sqrt[3]{a^{11/4}b^{-7/4}} = (a^{11/4}b^{-7/4})^{1/3} = a^{\frac{11}{12}}b^{-\frac{7}{12}} $.
Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{a^{1/4}b^1}{a^{11/12}b^{-7/12}} = a^{1/4 - 11/12}b^{1 - (-7/12)} = a^{3/12 - 11/12}b^{12/12 + 7/12} = a^{-8/12}b^{19/12} = a^{-2/3}b^{19/12} $.
Ответ: $ a^{-2/3}b^{19/12} $

4) Упростим числитель и знаменатель, перейдя к степеням.
Числитель: $ \sqrt[5]{x^{-2}y\sqrt{xy^{-1}}} = \sqrt[5]{x^{-2}y(xy^{-1})^{1/2}} = \sqrt[5]{x^{-2}y x^{1/2}y^{-1/2}} = \sqrt[5]{x^{-2+1/2}y^{1-1/2}} = \sqrt[5]{x^{-3/2}y^{1/2}} = (x^{-3/2}y^{1/2})^{1/5} = x^{-3/10}y^{1/10} $.
Знаменатель: $ \sqrt{xy^{-1}\sqrt[5]{x^2y^{-4}}} = \sqrt{xy^{-1}(x^2y^{-4})^{1/5}} = \sqrt{xy^{-1}x^{2/5}y^{-4/5}} = \sqrt{x^{1+2/5}y^{-1-4/5}} = \sqrt{x^{7/5}y^{-9/5}} = (x^{7/5}y^{-9/5})^{1/2} = x^{7/10}y^{-9/10} $.
Выполним деление: $ \frac{x^{-3/10}y^{1/10}}{x^{7/10}y^{-9/10}} = x^{-3/10-7/10}y^{1/10-(-9/10)} = x^{-10/10}y^{10/10} = x^{-1}y^1 = \frac{y}{x} $.
Ответ: $ \frac{y}{x} $

5) Структура выражения интерпретируется как $ \sqrt{\sqrt[3]{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt{\frac{x}{y}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{x}{y}} $. Обозначим $ A = \frac{x}{y} $ для удобства.
Первый множитель: $ \sqrt{A^{1/3} \cdot A^{1/2} \cdot A^{1/2}} = \sqrt{A^{1/3+1/2+1/2}} = \sqrt{A^{1/3+1}} = \sqrt{A^{4/3}} = (A^{4/3})^{1/2} = A^{2/3} $.
Второй множитель: $ \sqrt[3]{\frac{x}{y}} = A^{1/3} $.
Перемножим полученные выражения: $ A^{2/3} \cdot A^{1/3} = A^{2/3+1/3} = A^1 = \frac{x}{y} $.
Ответ: $ \frac{x}{y} $

6) Выполним действия последовательно, учитывая, что ":" означает деление.
$ \sqrt{\sqrt[4]{x}} \cdot x^{-1} \cdot y : (y^2x) = \frac{\sqrt[8]{x} \cdot x^{-1} \cdot y}{y^2x} = \frac{x^{1/8} \cdot x^{-1} \cdot y^1}{y^2 \cdot x^1} $.
Сгруппируем переменные: $ x^{1/8 - 1 - 1} \cdot y^{1 - 2} = x^{1/8 - 2} \cdot y^{-1} = x^{1/8 - 16/8} \cdot y^{-1} = x^{-15/8}y^{-1} $.
Ответ: $ x^{-15/8}y^{-1} $

7) Сначала упростим дробь, а затем выполним деление на второе выражение.
Упрощаем дробь: $ \frac{\sqrt{b^2 \cdot \sqrt[4]{ab^2}}}{\sqrt[4]{(ab^{-2})^3}} = \frac{\sqrt{b^2 (ab^2)^{1/4}}}{(ab^{-2})^{3/4}} = \frac{\sqrt{b^2 a^{1/4}b^{1/2}}}{a^{3/4}b^{-6/4}} = \frac{\sqrt{a^{1/4}b^{2+1/2}}}{a^{3/4}b^{-3/2}} = \frac{(a^{1/4}b^{5/2})^{1/2}}{a^{3/4}b^{-3/2}} = \frac{a^{1/8}b^{5/4}}{a^{3/4}b^{-3/2}} = a^{1/8-3/4}b^{5/4-(-3/2)} = a^{1/8-6/8}b^{5/4+6/4} = a^{-5/8}b^{11/4} $.
Упрощаем делитель: $ (a \cdot b^{-2})^{-2} = a^{-2}(b^{-2})^{-2} = a^{-2}b^4 $.
Выполняем деление: $ \frac{a^{-5/8}b^{11/4}}{a^{-2}b^4} = a^{-5/8 - (-2)}b^{11/4 - 4} = a^{-5/8+16/8}b^{11/4-16/4} = a^{11/8}b^{-5/4} $.
Ответ: $ a^{11/8}b^{-5/4} $

8) Упростим первый множитель, а затем выполним умножение. Знак "·" означает умножение.
Первый множитель: $ \frac{\sqrt[3]{a^2\sqrt{b}}}{\sqrt[4]{(a^{-1}b^2)^{-3}}} = \frac{\sqrt[3]{a^2 b^{1/2}}}{(a^{-1}b^2)^{-3/4}} = \frac{(a^2 b^{1/2})^{1/3}}{a^{(-1)(-3/4)}b^{2(-3/4)}} = \frac{a^{2/3}b^{1/6}}{a^{3/4}b^{-3/2}} = a^{2/3-3/4}b^{1/6-(-3/2)} = a^{8/12-9/12}b^{1/6+9/6} = a^{-1/12}b^{10/6} = a^{-1/12}b^{5/3} $.
Второй множитель: $ \sqrt[12]{ab^{16}} = (ab^{16})^{1/12} = a^{1/12}b^{16/12} = a^{1/12}b^{4/3} $.
Перемножим результаты: $ (a^{-1/12}b^{5/3}) \cdot (a^{1/12}b^{4/3}) = a^{-1/12+1/12}b^{5/3+4/3} = a^0 b^{9/3} = 1 \cdot b^3 = b^3 $.
Ответ: $ b^3 $