Номер 86, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя подкоренного выражения.

Числитель: $67^2 - 58^2 = (67 - 58)(67 + 58) = 9 \cdot 125$.

Знаменатель: $53^2 - 28^2 = (53 - 28)(53 + 28) = 25 \cdot 81$.

Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\sqrt{\frac{67^2 - 58^2}{53^2 - 28^2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 125}{25 \cdot 81}}$

Теперь упростим дробь под корнем:

$\sqrt{\frac{9 \cdot 125}{25 \cdot 81}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 5 \cdot 25}{25 \cdot 9 \cdot 9}} = \sqrt{\frac{5}{9}}$

Извлекаем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

2) Для решения этого примера также воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Сначала упростим выражения в числителе и знаменателе дроби под внешним корнем.

Выражение в числителе: $\sqrt{113^2 - 112^2} = \sqrt{(113 - 112)(113 + 112)} = \sqrt{1 \cdot 225} = \sqrt{225} = 15$.

Выражение в знаменателе: $19^2 - 11^2 = (19 - 11)(19 + 11) = 8 \cdot 30 = 240$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\sqrt{\frac{\sqrt{113^2 - 112^2}}{19^2 - 11^2}} = \sqrt{\frac{15}{240}}$

Сократим дробь под корнем:

$\frac{15}{240} = \frac{15}{15 \cdot 16} = \frac{1}{16}$

Извлекаем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Для решения этого примера сначала упростим каждое слагаемое в скобках.

Упростим выражения в первой скобке: $(3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{24} + \sqrt{6})$.

$3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \sqrt{6}$.

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Подставим упрощенные значения в первую скобку:

$\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + \sqrt{6} = (1 - 2 + 1)\sqrt{6} = 0 \cdot \sqrt{6} = 0$.

Так как значение выражения в первой скобке равно нулю, то произведение всего выражения также равно нулю, поскольку произведение любого числа на ноль есть ноль.

$(3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{24} + \sqrt{6}) \cdot (2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}) = 0 \cdot (5 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}) = 0$.

Ответ: $0$

4) Упростим выражения в каждой из скобок по отдельности.

Первая скобка: $(\sqrt[3]{16} - 2\sqrt[3]{2} + 4\sqrt[3]{54})$.

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$.

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Подставляем в первую скобку: $2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 4 \cdot (3\sqrt[3]{2}) = 2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 12\sqrt[3]{2} = (2 - 2 + 12)\sqrt[3]{2} = 12\sqrt[3]{2}$.

Вторая скобка: $(5\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{\frac{1}{2}})$.

$\sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$.

Подставляем во вторую скобку: $5\sqrt[3]{4} - 3 \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{2} = (5 - \frac{3}{2})\sqrt[3]{4} = (\frac{10 - 3}{2})\sqrt[3]{4} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{4}$.

Теперь перемножим результаты, полученные для каждой скобки:

$(12\sqrt[3]{2}) \cdot (\frac{7}{2}\sqrt[3]{4}) = (12 \cdot \frac{7}{2}) \cdot (\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}) = (6 \cdot 7) \cdot \sqrt[3]{8} = 42 \cdot 2 = 84$.

Ответ: $84$