Номер 79, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

79. 1)

Для решения данного выражения $ \frac{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{486}} + \sqrt[3]{27 \cdot 2^6} $ выполним действия по шагам.

1. Упростим первое слагаемое, используя свойства корней $ \frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{c}} = \sqrt[n]{\frac{a \cdot b}{c}} $:

$ \frac{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{486}} = \sqrt[4]{\frac{2 \cdot 3}{486}} = \sqrt[4]{\frac{6}{486}} $

2. Сократим дробь под корнем: $ \frac{6}{486} = \frac{1}{81} $.

3. Вычислим значение корня: $ \sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3} $, так как $ 3^4 = 81 $.

4. Упростим второе слагаемое, используя свойство $ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} $:

$ \sqrt[3]{27 \cdot 2^6} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2^6} = \sqrt[3]{3^3} \cdot (2^6)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2^{\frac{6}{3}} = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 $.

5. Сложим полученные результаты:

$ \frac{1}{3} + 12 = 12\frac{1}{3} $.

Ответ: $ 12\frac{1}{3} $

2)

Для решения выражения $ \sqrt[3]{216 \cdot 7^3} - \sqrt[5]{\frac{32}{243}} $ выполним действия по шагам.

1. Упростим уменьшаемое $ \sqrt[3]{216 \cdot 7^3} $:

$ \sqrt[3]{216 \cdot 7^3} = \sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{7^3} = \sqrt[3]{6^3} \cdot 7 = 6 \cdot 7 = 42 $.

2. Упростим вычитаемое $ \sqrt[5]{\frac{32}{243}} $:

$ \sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{243}} = \frac{\sqrt[5]{2^5}}{\sqrt[5]{3^5}} = \frac{2}{3} $.

3. Выполним вычитание:

$ 42 - \frac{2}{3} = 41 + 1 - \frac{2}{3} = 41 + \frac{3-2}{3} = 41\frac{1}{3} $.

Ответ: $ 41\frac{1}{3} $

3)

Для решения выражения $ \sqrt[3]{27 \cdot 4^3} - \sqrt{\frac{81}{256}} $ выполним действия по шагам.

1. Упростим уменьшаемое $ \sqrt[3]{27 \cdot 4^3} $:

$ \sqrt[3]{27 \cdot 4^3} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{4^3} = \sqrt[3]{3^3} \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12 $.

2. Упростим вычитаемое (квадратный корень) $ \sqrt{\frac{81}{256}} $:

$ \sqrt{\frac{81}{256}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{256}} = \frac{9}{16} $, так как $ 9^2 = 81 $ и $ 16^2 = 256 $.

3. Выполним вычитание:

$ 12 - \frac{9}{16} = 11 + 1 - \frac{9}{16} = 11 + \frac{16-9}{16} = 11\frac{7}{16} $.

Ответ: $ 11\frac{7}{16} $

4)

Для решения выражения $ 5 - \left( 3 \cdot \sqrt[4]{\frac{16}{81}} + \sqrt[3]{0,125} \right) $ выполним действия по порядку.

1. Сначала вычислим значение выражения в скобках. Найдем значение первого слагаемого в скобках: $ 3 \cdot \sqrt[4]{\frac{16}{81}} $.

$ \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{2}{3} $.

Следовательно, $ 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 $.

2. Найдем значение второго слагаемого в скобках: $ \sqrt[3]{0,125} $.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $ 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} $.

$ \sqrt[3]{0,125} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2} = 0,5 $.

3. Сложим полученные значения в скобках:

$ 2 + 0,5 = 2,5 $.

4. Выполним вычитание:

$ 5 - 2,5 = 2,5 $.

Ответ: $ 2,5 $