Номер 78, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt{3}}$ используем свойство корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Поскольку квадратный корень имеет показатель 2, мы можем записать выражение как $\sqrt[2]{\sqrt[2]{3}}$.
Применяя свойство, перемножаем показатели корней: $\sqrt[2 \cdot 2]{3} = \sqrt[4]{3}$.
Ответ: $\sqrt[4]{3}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[3]{4}}$ используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Показатель внешнего корня - 2, а внутреннего - 3.
$\sqrt{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4}$.
Мы можем упростить это дальше, так как $4 = 2^2$.
$\sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2}$.
Используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, мы можем сократить показатель корня и показатель степени на их общий делитель 2:
$\sqrt[6]{2^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^{1 \cdot 2}} = \sqrt[3]{2^1} = \sqrt[3]{2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2}$

3) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\sqrt{7}}$ используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Показатель внешнего корня - 3, а внутреннего (квадратного) - 2.
Применяя свойство, перемножаем показатели корней: $\sqrt[3 \cdot 2]{7} = \sqrt[6]{7}$.
Ответ: $\sqrt[6]{7}$

4) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}}$ используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Показатели корней - 5 и 3.
Применяя свойство, перемножаем показатели корней: $\sqrt[5 \cdot 3]{11} = \sqrt[15]{11}$.
Ответ: $\sqrt[15]{11}$

5) Для упрощения выражения $\sqrt{a\sqrt{a}}$ сначала внесем множитель $a$ под внутренний знак корня.
Внутренний корень - квадратный (показатель 2), поэтому, внося $a$ под него, мы возводим $a$ в квадрат:
$\sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{\sqrt{a^2 \cdot a}} = \sqrt{\sqrt{a^3}}$.
Теперь используем свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[mn]{b}$. Оба корня квадратные (показатель 2):
$\sqrt[2]{\sqrt[2]{a^3}} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^3} = \sqrt[4]{a^3}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a^3}$

6) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^5}}$ используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Показатели корней - 4 и 3.
Применяя свойство, перемножаем показатели корней: $\sqrt[4 \cdot 3]{a^5} = \sqrt[12]{a^5}$.
Ответ: $\sqrt[12]{a^5}$

7) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{\sqrt[3]{mn}}$ используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Показатели корней - 5 и 3.
Применяя свойство, перемножаем показатели корней: $\sqrt[5 \cdot 3]{mn} = \sqrt[15]{mn}$.
Ответ: $\sqrt[15]{mn}$

8) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a}{b}}}$ используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$.
Показатель внешнего корня - 3, а внутреннего (квадратного) - 2.
Применяя свойство, перемножаем показатели корней: $\sqrt[3 \cdot 2]{\frac{a}{b}} = \sqrt[6]{\frac{a}{b}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{\frac{a}{b}}$