Номер 77, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{32 \cdot a^{10}}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ и свойством извлечения корня из степени $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
Сначала представим число 32 как степень с основанием 2: $32 = 2^5$.
Теперь исходное выражение можно переписать в виде: $\sqrt[5]{2^5 \cdot a^{10}}$.
Применим свойство корня из произведения:$\sqrt[5]{2^5 \cdot a^{10}} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{a^{10}}$.
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt[5]{2^5} = 2^{5/5} = 2^1 = 2$.
$\sqrt[5]{a^{10}} = a^{10/5} = a^2$. Поскольку корень нечетной степени (5), знак модуля не требуется.
Перемножим полученные результаты: $2 \cdot a^2 = 2a^2$.
Ответ: $2a^2$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{128 \cdot a^{12}b^{18}c^6}$ разложим подкоренное выражение на множители, которые можно представить в виде шестой степени.
Представим число 128: $128 = 64 \cdot 2 = 2^6 \cdot 2$.
Представим степени переменных: $a^{12} = (a^2)^6$, $b^{18} = (b^3)^6$, $c^6 = c^6$.
Подставим эти выражения под корень: $\sqrt[6]{2^6 \cdot 2 \cdot (a^2)^6 \cdot (b^3)^6 \cdot c^6}$.
Используя свойство корня из произведения, вынесем из-под знака корня множители, являющиеся точными шестыми степенями:$\sqrt[6]{2^6 \cdot (a^2)^6 \cdot (b^3)^6 \cdot c^6 \cdot 2} = \sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{(a^2)^6} \cdot \sqrt[6]{(b^3)^6} \cdot \sqrt[6]{c^6} \cdot \sqrt[6]{2}$.
При извлечении корня четной степени (6) из выражения в четной степени необходимо использовать модуль: $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$.
Получаем: $|2| \cdot |a^2| \cdot |b^3| \cdot |c| \cdot \sqrt[6]{2}$.
Раскроем модули, где это возможно:$|2| = 2$.
$|a^2| = a^2$ (поскольку $a^2$ всегда неотрицательно).
Модули $|b^3|$ и $|c|$ необходимо оставить, так как $b$ и $c$ могут быть отрицательными.
Результат: $2a^2|b^3||c|\sqrt[6]{2} = 2a^2|b^3c|\sqrt[6]{2}$.
Ответ: $2a^2|b^3c|\sqrt[6]{2}$.

3) Упростим выражение $\sqrt[3]{64 \cdot m^6n^9p^3}$.
Представим каждый множитель под корнем в виде куба некоторого выражения.
$64 = 4^3$.
$m^6 = (m^2)^3$.
$n^9 = (n^3)^3$.
$p^3 = p^3$.
Подставим это в исходное выражение: $\sqrt[3]{4^3 \cdot (m^2)^3 \cdot (n^3)^3 \cdot p^3}$.
Используя свойство произведения степеней, объединим все под один куб: $\sqrt[3]{(4m^2n^3p)^3}$.
При извлечении корня нечетной степени (3) из выражения в той же степени, модуль не используется: $\sqrt[n]{x^n} = x$ для нечетного $n$.
Следовательно, $\sqrt[3]{(4m^2n^3p)^3} = 4m^2n^3p$.
Ответ: $4m^2n^3p$.

4) Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{16}{81}x^8y^{12}}$.
Представим подкоренное выражение в виде четвертой степени.
$\frac{16}{81} = \frac{2^4}{3^4} = (\frac{2}{3})^4$.
$x^8 = (x^2)^4$.
$y^{12} = (y^3)^4$.
Подставим эти выражения под корень: $\sqrt[4]{(\frac{2}{3})^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^3)^4}$.
Объединим множители под знаком четвертой степени: $\sqrt[4]{(\frac{2}{3}x^2y^3)^4}$.
Поскольку корень четной степени (4), при его извлечении необходимо использовать модуль: $\sqrt[n]{z^n} = |z|$ для четного $n$.
$|\frac{2}{3}x^2y^3|$.
Раскроем модуль для каждого сомножителя: $|\frac{2}{3}| \cdot |x^2| \cdot |y^3|$.
$|\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$ (положительное число).
$|x^2| = x^2$ (квадрат любого числа неотрицателен).
Модуль $|y^3|$ необходимо оставить, так как $y^3$ может быть отрицательным, если $y < 0$.
Окончательный результат: $\frac{2}{3}x^2|y^3|$.
Ответ: $\frac{2}{3}x^2|y^3|$.