Номер 75, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для того чтобы извлечь квадратный корень из произведения, можно извлечь корень из каждого множителя по отдельности и затем перемножить результаты. Это следует из свойства корней: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.

Применим это свойство к выражению $\sqrt{49 \cdot 64 \cdot 100}$:

$\sqrt{49 \cdot 64 \cdot 100} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{100}$

Вычислим значения корней:

$\sqrt{49} = 7$

$\sqrt{64} = 8$

$\sqrt{100} = 10$

Теперь перемножим полученные значения:

$7 \cdot 8 \cdot 10 = 56 \cdot 10 = 560$

Ответ: $560$

2) Аналогично квадратному корню, кубический корень из произведения равен произведению кубических корней из каждого множителя: $\sqrt[3]{a \cdot b \cdot c} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{c}$.

Применим это свойство к выражению $\sqrt[3]{8 \cdot 27 \cdot 125}$:

$\sqrt[3]{8 \cdot 27 \cdot 125} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{125}$

Вычислим значения кубических корней, представив подкоренные выражения в виде кубов чисел:

$\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$

$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

$\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$

Перемножим результаты:

$2 \cdot 3 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$

Ответ: $30$

3) Используем свойство корня из произведения и свойство корня из степени $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$. При извлечении корня четной степени (в данном случае квадратного, $n=2$) из выражения с переменной в четной степени, необходимо использовать модуль, так как результат арифметического корня должен быть неотрицательным: $\sqrt{x^2} = |x|$.

Разложим выражение под корнем на множители:

$\sqrt{a^4 b^2 c^6} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{c^6}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = a^2$ (поскольку $a^2$ всегда неотрицательно).

$\sqrt{b^2} = |b|$

$\sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2} = |c^3|$

Объединим результаты:

$a^2 \cdot |b| \cdot |c^3| = a^2|b||c^3|$

Ответ: $a^2|b||c^3|$

4) Для извлечения корня четвертой степени из произведения воспользуемся теми же свойствами, что и в предыдущих заданиях. Корень четной степени ($n=4$) из произведения равен произведению корней из множителей. Также учтем правило $\sqrt[n]{x^{nk}} = |x^k|$ для четного $n$.

Разложим выражение на множители под корнем:

$\sqrt[4]{m^8 \cdot k^{12} \cdot t^4} = \sqrt[4]{m^8} \cdot \sqrt[4]{k^{12}} \cdot \sqrt[4]{t^4}$

Извлечем корень четвертой степени из каждого множителя:

$\sqrt[4]{m^8} = \sqrt[4]{(m^2)^4} = |m^2| = m^2$ (поскольку $m^2$ всегда неотрицательно).

$\sqrt[4]{k^{12}} = \sqrt[4]{(k^3)^4} = |k^3|$

$\sqrt[4]{t^4} = |t|$

Объединим результаты:

$m^2 \cdot |k^3| \cdot |t| = m^2|k^3||t|$

Ответ: $m^2|k^3||t|$