Номер 76, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{\frac{49}{225}}$ воспользуемся свойством корня из дроби: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{\frac{49}{225}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{225}}$

Теперь вычислим значения квадратных корней из числителя и знаменателя:

$\sqrt{49} = 7$, так как $7^2 = 49$.

$\sqrt{225} = 15$, так как $15^2 = 225$.

Подставим найденные значения обратно в дробь:

$\frac{7}{15}$

Ответ: $\frac{7}{15}$

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 125}{343}}$ используем свойства корня из дроби и корня из произведения: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ и $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Применим эти свойства:

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 125}{343}} = \frac{\sqrt[3]{8 \cdot 125}}{\sqrt[3]{343}} = \frac{\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{343}}$

Вычислим значения кубических корней:

$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

$\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.

$\sqrt[3]{343} = 7$, так как $7^3 = 343$.

Подставим значения в выражение:

$\frac{2 \cdot 5}{7} = \frac{10}{7}$

Ответ: $\frac{10}{7}$

3) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{\frac{1}{625} \cdot 5 \frac{1}{16}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$5 \frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$

Теперь наше выражение выглядит так:

$\sqrt[4]{\frac{1}{625} \cdot \frac{81}{16}}$

Воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[4]{\frac{1}{625}} \cdot \sqrt[4]{\frac{81}{16}}$

Теперь применим свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ к каждому множителю:

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{625}} \cdot \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}$

Вычислим значения корней четвертой степени:

$\sqrt[4]{1} = 1$

$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.

$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.

$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.

Подставим найденные значения и перемножим дроби:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{3}{10}$

4) Для вычисления значения выражения $\frac{\sqrt[5]{486}}{\sqrt[5]{2}}$ используем свойство частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Применим это свойство:

$\frac{\sqrt[5]{486}}{\sqrt[5]{2}} = \sqrt[5]{\frac{486}{2}}$

Выполним деление под корнем:

$\frac{486}{2} = 243$

Теперь нужно вычислить $\sqrt[5]{243}$.

Найдем число, которое при возведении в пятую степень дает 243. Это число 3, так как $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Следовательно, $\sqrt[5]{243} = 3$.

Ответ: $3$