Номер 16, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для вычисления определенного интеграла $\int_0^6 \frac{x^4 - 1}{x + 1} dx$ необходимо сначала упростить подынтегральное выражение.

Числитель дроби $x^4 - 1$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители:$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$.

В свою очередь, выражение $x^2 - 1$ также является разностью квадратов:$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Следовательно, полное разложение числителя на множители имеет вид:$x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Подставим разложенный числитель обратно в подынтегральное выражение и сократим дробь:$\frac{x^4 - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{x + 1}$.

Поскольку на интервале интегрирования $[0, 6]$ знаменатель $x+1$ не обращается в ноль, мы можем безопасно сократить на $(x+1)$:$\frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{x + 1} = (x - 1)(x^2 + 1)$.

Теперь раскроем скобки, чтобы получить многочлен для интегрирования:$(x - 1)(x^2 + 1) = x \cdot x^2 + x \cdot 1 - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot 1 = x^3 - x^2 + x - 1$.

Таким образом, исходный интеграл преобразуется к виду:$\int_0^6 (x^3 - x^2 + x - 1) dx$.

Для вычисления этого интеграла найдем первообразную подынтегральной функции, используя стандартную формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:$\int (x^3 - x^2 + x - 1) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x$.

Далее применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$:$\int_0^6 (x^3 - x^2 + x - 1) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x \right]_0^6$.

Подставим верхний предел интегрирования $x=6$:$\left( \frac{6^4}{4} - \frac{6^3}{3} + \frac{6^2}{2} - 6 \right) = \left( \frac{1296}{4} - \frac{216}{3} + \frac{36}{2} - 6 \right) = (324 - 72 + 18 - 6)$.

Выполним арифметические действия:$324 - 72 + 18 - 6 = 252 + 18 - 6 = 270 - 6 = 264$.

Подставим нижний предел интегрирования $x=0$:$\left( \frac{0^4}{4} - \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} - 0 \right) = 0 - 0 + 0 - 0 = 0$.

Найдем разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределах:$264 - 0 = 264$.

Ответ: 264.