Номер 13, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения площади заштрихованной фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, прямой $y = -4,5x + 22,5$ и осью абсцисс ($y=0$), необходимо разбить эту фигуру на две части. Границей между частями будет вертикальная линия, проходящая через точку пересечения параболы и прямой.

Сначала найдем точку пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = -4,5x + 22,5$. Для этого приравняем их уравнения:

$x^2 = -4,5x + 22,5$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 4,5x - 22,5 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все уравнение на 2:

$2x^2 + 9x - 45 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 81 + 360 = 441$

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-9 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-9 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{-30}{4} = -7,5$

Из графика видно, что точка пересечения находится в первой координатной четверти, поэтому нас интересует положительный корень $x=3$.

Таким образом, общая площадь $S$ заштрихованной фигуры состоит из двух частей. Первая часть ($S_1$) — это площадь под параболой $y=x^2$ на интервале от $x=0$ до $x=3$. Вторая часть ($S_2$) — это площадь под прямой $y=-4,5x+22,5$ на интервале от $x=3$ до точки пересечения этой прямой с осью $x$.

Найдем точку пересечения прямой $y = -4,5x + 22,5$ с осью $x$ (при $y=0$):

$0 = -4,5x + 22,5 \implies 4,5x = 22,5 \implies x = \frac{22,5}{4,5} = 5$

Теперь можно вычислить общую площадь $S$ как сумму двух интегралов:

$S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{3} x^2 \,dx + \int_{3}^{5} (-4,5x + 22,5) \,dx$

Вычислим первый интеграл, $S_1$:

$S_1 = \int_{0}^{3} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$

Вычислим второй интеграл, $S_2$. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Интегрирование

$S_2 = \int_{3}^{5} (-4,5x + 22,5) \,dx = \left[ -4,5 \frac{x^2}{2} + 22,5x \right]_{3}^{5}$

$S_2 = \left( -4,5 \frac{5^2}{2} + 22,5 \cdot 5 \right) - \left( -4,5 \frac{3^2}{2} + 22,5 \cdot 3 \right)$

$S_2 = (-56,25 + 112,5) - (-20,25 + 67,5) = 56,25 - 47,25 = 9$

Способ 2: Геометрический

Фигура $S_2$ представляет собой прямоугольный треугольник. Его вершины находятся в точках $(3, 9)$ (точка пересечения), $(5, 0)$ (пересечение с осью $x$) и $(3, 0)$. Длины катетов равны $5-3=2$ и $9-0=9$. Площадь треугольника:

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 = 9$

Общая площадь равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 = 9 + 9 = 18$

Ответ: 18