Страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения площади заштрихованной фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, прямой $y = -4,5x + 22,5$ и осью абсцисс ($y=0$), необходимо разбить эту фигуру на две части. Границей между частями будет вертикальная линия, проходящая через точку пересечения параболы и прямой.

Сначала найдем точку пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = -4,5x + 22,5$. Для этого приравняем их уравнения:

$x^2 = -4,5x + 22,5$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 4,5x - 22,5 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все уравнение на 2:

$2x^2 + 9x - 45 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 81 + 360 = 441$

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-9 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-9 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{-30}{4} = -7,5$

Из графика видно, что точка пересечения находится в первой координатной четверти, поэтому нас интересует положительный корень $x=3$.

Таким образом, общая площадь $S$ заштрихованной фигуры состоит из двух частей. Первая часть ($S_1$) — это площадь под параболой $y=x^2$ на интервале от $x=0$ до $x=3$. Вторая часть ($S_2$) — это площадь под прямой $y=-4,5x+22,5$ на интервале от $x=3$ до точки пересечения этой прямой с осью $x$.

Найдем точку пересечения прямой $y = -4,5x + 22,5$ с осью $x$ (при $y=0$):

$0 = -4,5x + 22,5 \implies 4,5x = 22,5 \implies x = \frac{22,5}{4,5} = 5$

Теперь можно вычислить общую площадь $S$ как сумму двух интегралов:

$S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{3} x^2 \,dx + \int_{3}^{5} (-4,5x + 22,5) \,dx$

Вычислим первый интеграл, $S_1$:

$S_1 = \int_{0}^{3} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$

Вычислим второй интеграл, $S_2$. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Интегрирование

$S_2 = \int_{3}^{5} (-4,5x + 22,5) \,dx = \left[ -4,5 \frac{x^2}{2} + 22,5x \right]_{3}^{5}$

$S_2 = \left( -4,5 \frac{5^2}{2} + 22,5 \cdot 5 \right) - \left( -4,5 \frac{3^2}{2} + 22,5 \cdot 3 \right)$

$S_2 = (-56,25 + 112,5) - (-20,25 + 67,5) = 56,25 - 47,25 = 9$

Способ 2: Геометрический

Фигура $S_2$ представляет собой прямоугольный треугольник. Его вершины находятся в точках $(3, 9)$ (точка пересечения), $(5, 0)$ (пересечение с осью $x$) и $(3, 0)$. Длины катетов равны $5-3=2$ и $9-0=9$. Площадь треугольника:

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 = 9$

Общая площадь равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 = 9 + 9 = 18$

Ответ: 18

14.Для вычисления данного интеграла сначала упростим подынтегральное выражение. Числитель $x^3+1$ представляет собой сумму кубов, которую можно разложить на множители по формуле $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Применяя эту формулу, получаем:$x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x+1)(x^2 - x + 1)$.

Теперь подставим это выражение обратно в интеграл:$\int_0^4 \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{x^2 - x + 1} dx$.

Поскольку выражение в знаменателе $x^2 - x + 1$ никогда не равно нулю (его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$), мы можем сократить дробь.

Интеграл упрощается до:$\int_0^4 (x+1) dx$.

Теперь найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x+1$. Первообразная равна $F(x) = \frac{x^2}{2} + x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$.

$\int_0^4 (x+1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_0^4 = \left( \frac{4^2}{2} + 4 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 \right)$.

Вычисляем значение:$\left( \frac{16}{2} + 4 \right) - 0 = (8+4) - 0 = 12$.

Ответ: 12

15. Для того чтобы вычислить значение определенного интеграла $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 14 \sin x \, dx $, необходимо воспользоваться основной теоремой анализа (формулой Ньютона-Лейбница).

1. Сначала вынесем постоянный множитель 14 за знак интеграла:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 14 \sin x \, dx = 14 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx $

2. Затем найдем первообразную для функции $ f(x) = \sin x $. Первообразной функцией $ F(x) $ для $ \sin x $ является $ -\cos x $, так как производная от $ -\cos x $ равна $ \sin x $.

3. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) $.
$ 14 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = 14 \cdot [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} $

4. Подставим пределы интегрирования $ b = \frac{\pi}{2} $ и $ a = 0 $ в первообразную:
$ 14 \cdot \left( (-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)) - (-\cos(0)) \right) $

5. Вычислим значения косинусов. Мы знаем, что $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ и $ \cos(0) = 1 $.
Подставим эти значения в выражение:
$ 14 \cdot (-(0) - (-1)) = 14 \cdot (0 + 1) = 14 \cdot 1 = 14 $

Ответ: 14

Для вычисления определенного интеграла $\int_0^6 \frac{x^4 - 1}{x + 1} dx$ необходимо сначала упростить подынтегральное выражение.

Числитель дроби $x^4 - 1$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители:$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$.

В свою очередь, выражение $x^2 - 1$ также является разностью квадратов:$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Следовательно, полное разложение числителя на множители имеет вид:$x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Подставим разложенный числитель обратно в подынтегральное выражение и сократим дробь:$\frac{x^4 - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{x + 1}$.

Поскольку на интервале интегрирования $[0, 6]$ знаменатель $x+1$ не обращается в ноль, мы можем безопасно сократить на $(x+1)$:$\frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{x + 1} = (x - 1)(x^2 + 1)$.

Теперь раскроем скобки, чтобы получить многочлен для интегрирования:$(x - 1)(x^2 + 1) = x \cdot x^2 + x \cdot 1 - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot 1 = x^3 - x^2 + x - 1$.

Таким образом, исходный интеграл преобразуется к виду:$\int_0^6 (x^3 - x^2 + x - 1) dx$.

Для вычисления этого интеграла найдем первообразную подынтегральной функции, используя стандартную формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:$\int (x^3 - x^2 + x - 1) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x$.

Далее применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$:$\int_0^6 (x^3 - x^2 + x - 1) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x \right]_0^6$.

Подставим верхний предел интегрирования $x=6$:$\left( \frac{6^4}{4} - \frac{6^3}{3} + \frac{6^2}{2} - 6 \right) = \left( \frac{1296}{4} - \frac{216}{3} + \frac{36}{2} - 6 \right) = (324 - 72 + 18 - 6)$.

Выполним арифметические действия:$324 - 72 + 18 - 6 = 252 + 18 - 6 = 270 - 6 = 264$.

Подставим нижний предел интегрирования $x=0$:$\left( \frac{0^4}{4} - \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} - 0 \right) = 0 - 0 + 0 - 0 = 0$.

Найдем разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределах:$264 - 0 = 264$.

Ответ: 264.

Для решения данного уравнения необходимо сначала вычислить определенный интеграл в левой части.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(t) = 12t^2$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$, получаем:

$\int 12t^2 dt = 12 \int t^2 dt = 12 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} = 12 \cdot \frac{t^3}{3} = 4t^3$.

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a)$, где $F(t)$ - первообразная для $f(t)$.

$\int_{0}^{x} 12t^2 dt = [4t^3]_{0}^{x} = 4x^3 - 4 \cdot 0^3 = 4x^3 - 0 = 4x^3$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$4x^3 = 4$.

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^3 = 1$.

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:

$x = \sqrt[3]{1}$

$x = 1$.

Таким образом, решение уравнения - это $x = 1$, что соответствует варианту B.

Ответ: B: 1.

Решение:

Для решения данного неравенства необходимо сначала вычислить определенный интеграл в левой части.

Исходное неравенство:

$\int_{-2}^{x} 4dt > 0$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(t)dt = F(b) - F(a)$, где $F(t)$ является первообразной для $f(t)$.

Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 4$ есть $F(t) = 4t$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования от $-2$ до $x$:

$\int_{-2}^{x} 4dt = [4t]_{-2}^{x} = 4(x) - 4(-2) = 4x - (-8) = 4x + 8$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное неравенство:

$4x + 8 > 0$

Решим это линейное неравенство относительно переменной $x$. Сначала перенесем 8 в правую часть неравенства, изменив знак:

$4x > -8$

Далее, разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x > \frac{-8}{4}$

$x > -2$

Решение неравенства в виде интервала: $x \in (-2; +\infty)$. Этот результат соответствует варианту А.

Ответ: $(-2; +\infty)$

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если производная от $F(x)$ равна $f(x)$. Это можно записать в виде равенства: $f(x) = F'(x)$.

В условии задачи дана первообразная функция: $F(x) = 7,5x^2 - 10$.

Чтобы найти исходную функцию $f(x)$, нам необходимо найти производную от функции $F(x)$.

$f(x) = F'(x) = (7,5x^2 - 10)'$

Для нахождения производной воспользуемся следующими правилами дифференцирования:

1. Производная разности функций равна разности их производных: $(u - v)' = u' - v'$.

2. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

3. Производная константы (числа) равна нулю: $(C)' = 0$.

Применим эти правила к нашей функции:

$f(x) = (7,5x^2)' - (10)'$

Найдем производную первого слагаемого:

$(7,5x^2)' = 7,5 \cdot (x^2)' = 7,5 \cdot 2x^{2-1} = 7,5 \cdot 2x = 15x$.

Найдем производную второго слагаемого (константы):

$(10)' = 0$.

Теперь объединим результаты:

$f(x) = 15x - 0 = 15x$.

Таким образом, искомая функция - это $f(x) = 15x$. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту B.

Ответ: B. 15x;

Для вычисления объема тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, применяется формула:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В условиях задачи задана функция $y = x^2$ и пределы интегрирования от $a = 0$ до $b = 3$.

Подставляем данные в формулу объема:

$V = \pi \int_{0}^{3} (x^2)^2 dx$

Упрощаем выражение под знаком интеграла:

$V = \pi \int_{0}^{3} x^4 dx$

Находим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $x^4$ есть $\frac{x^5}{5}$.

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{3}$

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:

$V = \pi \left( \frac{3^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right)$

Вычисляем значение:

$V = \pi \left( \frac{243}{5} - 0 \right) = \frac{243}{5}\pi$

Чтобы сравнить результат с предложенными вариантами, переведем дробь в десятичное число:

$V = 48.6\pi$

Этот результат соответствует варианту D.

Ответ: $48.6\pi$.